Petits problèmes d'arithmétique

[invite69d45bb4]

Bonjour


soit a et b deux entiers naturels les restes de la division euclidienne des nombres entiers a et b sont respectivement 2 et 7.
déterminer le reste de la division euclidienne des nombres A plus B et à - B par 11

pour a plus B pas de problème sauf pour a-b je trouve a-b=11Q-5 bien sur c'est faux mais je n'arrive pas à trouver
a-b=11Q+6.

ça doit être tout simple mais là je n'arrive pas à trouver

pouvez-vous m'aider s'il vous plaît

merci d'avance


cordialement
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[PlaneteF]

Bonsoir,

C'est pénible à lire ce que tu écris. Dans ta première phrase tu ne précises pas par quoi il s'agit de diviser (on devine que c'est ), ... ensuite un coup tu écris "a" puis "A" puis "à", ... "b" puis "B", ... "plus" puis "+", ... Et puis c'est quoi Q ?

Sinon en devinant ton questionnement, je te rappelle que et donc dans ce cas je ne vois de problème.


Cordialement

[PlaneteF]

(...) et donc dans ce cas je ne vois de problème.

(...) et donc dans ce cas je ne vois pas de problème ... hormis dans la forme.

[invite69d45bb4]

soit a et b deux entiers naturels les restes de la division euclidienne des nombres entiers a et b sont respectivement 2 et 7.
déterminer le reste de la division euclidienne des nombres a+b et a-b par 11

pour a + b pas de problème sauf pour a-b je trouve a-b=11Q-5 bien sur c'est faux mais je n'arrive pas à trouver*
a-b=11Q+6.

Q est le quotient

pouver vous m'expliquer sans les congruences car dans le corrigé ils marquent a-b=11q+6 avec q le quotient

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Tu as trouvé que , en ne précisant toujours pas comment est défini (quotient de quoi ?).

Bref, est un entier qui peut donc s'écrire avec entier aussi. Et donc tu tombes bien sur le résultat de ton corrigé.


Cdt

[invite69d45bb4]

Q est le quotient de la division euclidienne de a - b par 11 je ne comprends toujours pas pourquoi il faut poser Q=q+1 avec q entier

[PlaneteF]

Q est le quotient de la division euclidienne de a - b par 11 (...)

Ben non, sûrement pas, car dans l'expression, ne peut pas être un reste d'une telle division car c'est un entier non compris entre et (inclus), et donc ne peut pas être le quotient que tu évoques !

(...) je ne comprends toujours pas pourquoi il faut poser Q=q+1 avec q entier

Reprenons depuis le début.

et sont 2 entiers naturels, mais peut très bien être négatif, donc il va s'agir dans le cas général d'une division euclidienne d'un entier relatif.

Ainsi l'énoncé se traduit par : Il existe un unique et un unique tels que et

Il vient immédiatement . Or pour avoir la forme d'une dividion euclidienne il faut que le reste soit tel que . Donc cette forme ne convient pas.

Posons alors . On a bien , et il vient alors .
Du coup cette forme permet de dire que : (défini comme étant égal à ) est le quotient, et le reste, de la division euclidienne de par .


N.B. : Dans toute cette rédaction, je ne fais rien d'autre que d'appliquer à la lettre la définition de la division euclidienne d'un entier relatif.


Cdt

[invite69d45bb4]

comment peut on deviner qu'il faut poser q=q'-q''-1 ? Parce que là on a deviné qu'il fallait poser ça comment on aurait pu savoir?

[PlaneteF]

comment peut on deviner qu'il faut poser q=q'-q''-1 ? Parce que là on a deviné qu'il fallait poser ça comment on aurait pu savoir?

Tu as une expression de la forme en posant

A partir de là on peut voir que le est trop petit pour faire office de reste. Donc si à la place de on avait quelque chose de la forme , en développant cela permettrait d'augmenter le de , ce qui donnerait , qui lui est bien un reste valide.

Donc comment faire apparaître avec un tout seul, ... et ben en écrivant que . Et au finish pour faire apparaître la bonne forme on pose

Je te décris là un processus de raisonnement, ... maintenant d'autres personnes pourraient raisonner autrement.


Cdt

[invite69d45bb4]

Pour faire plus simple on aurait pu tout simplement remarquer que pour a-b=11q''-5 on a juste a voir que 11-5=6

[invite51d17075]

comment peut on deviner qu'il faut poser q=q'-q''-1 ? Parce que là on a deviné qu'il fallait poser ça comment on aurait pu savoir?

tout simplement parceque dans une division euclidiènne de deux nombres naturels a et b
a=bq+r
q et r sont des entiers naturels donc positif ou nul.
donc d'écrire un reste négatif n'a pas de sens.
il faut donc changer le quotient pour avoir un reste positif.

[PlaneteF]

Pour faire plus simple on aurait pu tout simplement remarquer que pour a-b=11q''-5 on a juste a voir que 11-5=6

Soit tu fais allusion, implicitement ou indirectement, à la notion de congruence et alors la justification est celle que j'ai donné depuis le début en message#2 (mais tu souhaitais une justification ne passant pas par cette notion), ... soit tu ne fais pas une telle allusion, et je ne vois pas ce que tu prouves en remarquant que 11-5=6 ?!


Cdt

[PlaneteF]

On peut aussi présenter le raisonnement de cette manière :



On pose




Mais sur le fond c'est la même chose que ce qui a été expliqué précédemment, ... et c'est ni plus court, ni moins court.


Cdt