Contre exemples suites

[eleve800]

Bonjour,
Je dois répondre et justifier si ces affirmations sont vraies ou fausses mais j'ai un peu de mal quand il faut trouver des contre exemples . Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment très gentil !

1) on pose Un=an+1-an pour tout n, si (Un) diverge vers +l'infini,alors (an) aussi .
selon moi c'est VRAI mais je ne sais pas comment le justifier.

2)Soit une suite décroissante et strictement positive.
a)Elle converge ,mais pas vers 0, comme la positivité est stricte : faux selon moi puisqu'elle peut converger vers 0 .
b)elle ne converge pas toujours : faux selon moi car si elle est minorée elle converge mais je ne trouve pas d'exemple..

3)soit une suite monotone.
a)elle peut posséder une suite extraite convergente et une divergente: selon moi vrai mais elle divergera .
b)toutes ses suites extraites sont monotones: je dirai Vrai mais je ne suis pas sûr..

4)Soit une suite qui converge vers 0 ,tous ses termes sont positifs.
a)elle est decroissante: vrai car elle est minorée et convergente ?
b)elle est decroissante a partir d'un certain rang: vrai?
c)elle peut etre croissante: faux mais je n'ai pas de contre exemple..
d)elle n'existe pas: faux car par exemple 1/n existe bien ?
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[Seirios]

Bonjour,

1) on pose Un=an+1-an pour tout n, si (Un) diverge vers +l'infini,alors (an) aussi .
selon moi c'est VRAI mais je ne sais pas comment le justifier.

Pense à une suite oscillante du type mais dont l'amplitude augmente.

2)Soit une suite décroissante et strictement positive.
a)Elle converge ,mais pas vers 0, comme la positivité est stricte : faux selon moi puisqu'elle peut converger vers 0 .
b)elle ne converge pas toujours : faux selon moi car si elle est minorée elle converge mais je ne trouve pas d'exemple..

Pour a), que connais-tu comme suite convergeant vers 0 ? Pour b), c'est un théorème du cours...

3)soit une suite monotone.
a)elle peut posséder une suite extraite convergente et une divergente: selon moi vrai mais elle divergera .
b)toutes ses suites extraites sont monotones: je dirai Vrai mais je ne suis pas sûr..

Pour a), tu devrais essayer de dessiner des contre-exemples pour voir ce qui se passe. Pour b), essaie d'écrire une preuve, il suffit essentiellement d'appliquer la définition de croissance !

4)Soit une suite qui converge vers 0 ,tous ses termes sont positifs.
a)elle est decroissante: vrai car elle est minorée et convergente ?
b)elle est decroissante a partir d'un certain rang: vrai?
c)elle peut etre croissante: faux mais je n'ai pas de contre exemple..
d)elle n'existe pas: faux car par exemple 1/n existe bien ?

Pour a) et b), réfléchis un peu, fais quelques dessins, ce n'est pas un jeu de devinettes. Pour c), tu ne dois pas cherche un contre-exemple, mais une preuve qu'une suite croissante convergeant vers 0 ne peut pas être positive; tu n'as pas une idée ?

[eleve800]

pour la suite oscillante on peut prendre cos(n)??

"Pour a), que connais-tu comme suite convergeant vers 0 ? Pour b), c'est un théorème du cours...
" on peut prendre la suite 1/n qui converge vers 0 ?

pour la preuve qu'une suite croissante convergeant vers 0 ne peut pas être positive je ne vois pas ..

[eleve800]

pour la preuve qu'une suite croissante convergeant vers 0 ne peut pas être positive je ne vois pas ..

mais si on prend une suite géometrique de raison entre 0 et 1 elle convergera vers 0 et sera croissante non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

pour la suite oscillante on peut prendre cos(n)??

La différence entre deux termes successifs ne diverge pas vers l'infini.

on peut prendre la suite 1/n qui converge vers 0 ?

Plutôt que de poser la question, il suffit de vérifier si les hypothèses sont bien vérifiées : est-ce un contre-exemple ?

pour la preuve qu'une suite croissante convergeant vers 0 ne peut pas être positive je ne vois pas ..

C'est vraiment élémentaire, fais des dessins pour voir ce qui se passe.

mais si on prend une suite géometrique de raison entre 0 et 1 elle convergera vers 0 et sera croissante non ?

Non, elle sera décroissante : si tu multiplies un nombre positif par un réel compris entre 0 et 1, tu obtiens un nombre plus petit. Exemple : 0,1²=0,01.

[eleve800]

merci pour votre réponse,
pour le contre exemple,1/n converge bien vers 0 et est décroissante et positive donc ça marche bien ?

fais des dessins pour voir ce qui se passe.

. en effet la courbe sera en dessous de l'axe des abscisses sachant que la suite est croissante ..

[Seirios]

pour le contre exemple,1/n converge bien vers 0 et est décroissante et positive donc ça marche bien ?

Tout à fait !
.

en effet la courbe sera en dessous de l'axe des abscisses sachant que la suite est croissante ..

C'est effectivement l'idée. Maintenant, il faut trouver un argument précis pour justifier cela.