Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 24 sur 24

Suites et Algorithme




  1. #1
    Casillas38

    Exclamation Suites et Algorithme

    Bonsoir j'ai besoin de votre aide pour un exercice qui me pose problème


    Voila l'énoncé :

    On pose pour tout entier supérieur ou égal à 1 :

    Un = Somme des terme allant de 1 à n : 1/k^3 = 1 + 1/(2^3) + 1/(3^3) + ... + 1/(n^3)

    1) Justifier que la suite (Un) est croissante.

    2) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n appartenant à N : Un < ou égal à 2-1/n

    3) Que peut-on en conclure ?

    4) Soit E>0
    Ecrire un algorithme qui rend une valeur approchée à E près de la limite de la suite (Un).





    Pour la question 1, j'utilise la méthode Un+1 - Un :

    On a Un+1 = Un + 1/ (n+1)^3

    Donc Un+1 - Un = Un + [1/(n+1)^3] - Un
    Un+1 - Un = 1/(n+1)^3

    On a n> ou égal à 0 donc : (n+1)^3 >0 et 1>0

    Donc Un+1 - Un > 0 et donc (Un) est croissante.






    Par contre pour la question 2 je bloque...

    Initialisation :

    Vérifions que la propriété est vraie au rang initial :
    U1 < 2 - 1/1 et 1<1

    Donc la propriété est vraie au rang initial.



    Hérédité :

    Supposons la propriété vraie pour un certain rang k. Vérifions qu'elle est vraie au rang k+1 :

    Un < 2-1/n
    Un + [1/(n+1)^3] < 2 - 1/n + [1/(n+1)^3]
    Un+1 < (2 - 1/n) + [1/(n+1)^3]

    Mais après... ça n'aboutit à rien ! Donc je ne pense pas que ce soit la bonne méthode.

    Pouvez vous m'aidez

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Bonsoir,

    Tu devrais apprendre le LaTeX.

    Cordialement

  4. #3
    Casillas38

    Re : Suites et Algorithme

    Le quoi... ?


  5. #4
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Voilà ce que ça donne en LaTeX:



    C'est mieux, n'est-ce pas?

  6. #5
    Casillas38

    Re : Suites et Algorithme

    Oui c'est mieux... mais je ne vois pas comment je pourrais "l'apprendre" ...

    Pouvez vous m'aider pour mon exercice ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    J'y réfléchis...

  9. #7
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Es-tu toujours là?

  10. Publicité
  11. #8
    gg0

    Re : Suites et Algorithme

    Bonsoir.

    Pour ta question 2, il serait bon que tu regardes ce que tu veux obtenir, à partir de
    Un+1 < (2 - 1/n) + [1/(n+1)^3]
    En effet, faire un calcul sans savoir pourquoi, ce n'est pas facile !
    Donc que voudrais-tu prouver ?

    Cordialement.

  12. #9
    Casillas38

    Re : Suites et Algorithme

    Je voudrais montrer que Un+1 < 2 - 1/(n+1)

    On a : Un+1 < 2 - [1/n - (1/(n+1)^3)]

    On veut montrer que : 1/n - (1/(n+1)^3) > 1/(n+1)
    1/n - (1/(n+1)^3) - 1/(n+1) > 0

    On obtient : n²+n+1 / n(n+1) qui est clairement positif puisque n>1


    Et donc Un+1 < 1/(n+1) ?

  13. #10
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Casillas38 Voir le message

    On obtient : n²+n+1 / n(n+1)
    Ca, çà veut dire :


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2014 à 23h23.

  14. #11
    gg0

    Re : Suites et Algorithme

    Ce que tu viens de faire est une recherche. maintenant, il te reste à transformer ça en une preuve rédigée clairement, qui part de Un+1 < 2 - [1/n - (1/(n+1)^3)] pour arriver à Un+1 < 1/(n+1)
    Tu peux faire précéder de la remarque que 1/n - 1/(n+1)^3 - 1/(n+1)= ( n²+n+1) / (n(n+1)) >0 donc 1/n - 1/(n+1)^3 > 1/(n+1).

    Cordialement.

    NB : attention à l'usage des parenthèses ( inutiles autour de 1/(n+1)^3, oubliées ailleurs), revois les règles de priorité des opérations (début de collège !).

  15. #12
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Ensuite tu peux conclure en disant que



    Mais



    Et puisque et est croissante,

    On obtient finalement



    Cordialement

  16. #13
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    @Casillas38:

    Sinon le dénominateur c'est

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2014 à 23h27.

  17. #14
    gg0

    Re : Suites et Algorithme

    Effectivement.

    Comme quoi il faut faire une rédaction précise !

  18. #15
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Mais

    Attention, là tu utilises le théorème de comparaison qui pour être appliqué ici doit avoir comme hypothèse convergente, chose qui a ce stade n'est pas démontré !

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2014 à 23h37.

  19. #16
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Oups j'ai fait une petite erreur. C'est évidemment .

  20. #17
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Oups j'ai fait une petite erreur. C'est évidemment .
    Tu as fait une autre erreur, moins petite , celle que j'ai indiqué juste avant.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2014 à 23h37.

  21. #18
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Attention, là tu utilises le théorème de comparaison qui pour être appliqué ici doit avoir convergente, chose qui a ce stade n'est pas démontré !
    Si je dis que la suite est strictement croissante et inférieure à une autre suite convergente, la suite n'est elle pas nécessairement convergente?

  22. #19
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    Si je dis que la suite est strictement croissante et inférieure à une autre suite convergente, la suite n'est elle pas nécessairement convergente?
    Ben déjà, ça tu ne l'avais pas dit ...

    ... Maintenant, oui, la suite est nécessairement convergente, mais par quel(s) théorème(s) le justifies-tu ? ... Parce que ce que tu énonces là ce n'est pas un théorème connu.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2014 à 23h48.

  23. #20
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Ben déjà, ça tu ne l'avais pas dit ... Maintenant, oui, la suite est nécessairement convergente, mais par quel(s) théorème(s) le justifies-tu ? ... Parce que ce que tu énonces là ce n'est pas un théorème connu.
    Je ne l'avais pas dit tellement cela transpirait l'évidence.

    Quant à la justification, elle est laissée en guise d'exercice pour le lecteur.

    Plus sérieusement, je ne sais pas comment le prouver.

  24. #21
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Si l'on veut suivre le raisonnement que tu as amorcé, on peut dire :

    La suite est convergente (elle converge vers ).

    Théorème : Toute suite convergente est bornée, donc majorée.

    Donc la suite précédente est majorée. Mais elle majore elle-même la suite , qui est donc majorée aussi.

    Théorème : Toute suite croissante majorée est convergente.

    Donc est convergente.


    N.B. : sinon, on peut aussi remarquer directement que la suite est majorée par avec la même conclusion qui suit.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/10/2014 à 00h07.

  25. #22
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Ok merci beaucoup
    Dernière modification par Gandhi33 ; 02/10/2014 à 00h09.

  26. #23
    Gandhi33

    Re : Suites et Algorithme

    Tu peux remarquer que ,dans mon message initial, tous les éléments (majoré et croissant) étaient présents bien que mal présentés.

  27. #24
    PlaneteF

    Re : Suites et Algorithme

    Citation Envoyé par Gandhi33 Voir le message
    ... bien que mal présentés.
    Ben justement, c'est bien là ce qui fait toute la différence entre une justification précise, ... et celle que tu as proposé

    Et c'était précisément le sens de mon intervention !

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/10/2014 à 00h54.

Discussions similaires

  1. Suites et limites de suites (terminale S)
    Par dadachat dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 01/11/2013, 17h36
  2. Exercice algorithme + suites
    Par dra.dra.style dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 37
    Dernier message: 26/04/2013, 20h05
  3. suites par récurrence et algorithme
    Par naurhat dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 37
    Dernier message: 10/11/2012, 18h59
  4. Suites algorithme aidez moi s'il vous plaît !
    Par emouille dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 09/09/2012, 23h23
  5. DM algorithme / suites urgent SVP
    Par SiixNews dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 27/01/2012, 20h21