Nombres complexes

**Flof54** · 07/10/2014, 12h41

Bonjour,
j'ai quelques difficultés avec certaines question du DM ci dessous :

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Pas trop de problèmes jusqu'à la question 3a) de l'exercice 1. Je ne vois pas comment je pourrais vérifier que P(z) est le produit de Q(z) et de Q1(z). Par conséquent je ne peux pas faire le b).

Concernant l'exercice 2, j'ai exprimer Z+Zbarre en fonction de z et zbarre soit : Z+Zbarre = (5z-2)/(z-1) + (5zbarre-2)/(zbarre-1). Je ne sais pas si c'est la réponse attendue, ni si elle est juste.
Pour le 2) de l'exercice 2, là non plus, je ne vois pas comment m'y prendre.

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

**gg0** · 07/10/2014, 12h48

Bonjour.

Il faudra un délai pour que ton sujet soit visible, mais quelques idées :
1) as-tu calculé Q(z)Q1(z) ?
2) A priori, on attend une expression transformée (sans doute simple). Tu sais additionner deux fractions ...

Rappel : Z+Zbarre est un complexe particulier, quel que soit Z.

Cordialement.

**Flof54** · 07/10/2014, 16h29

J'ai donc calculer Q(z)*Q1(z) qui est un polynôme qu'on doit déterminer. Cela donne :

[(z-(1+i)(z-(1-i)](z²+bz+c)

= z^4+bz^3+cz²-2z^3-2zc+2z²+2c

Je trouve ce résultat assez bizarre. Qu'en pensez-vous ? Si ce résultat est juste, que dois-je faire ?

**jamo** · 07/10/2014, 16h42

Bonjour
Q1(z)=az²+bz+c et non z²+bz+c , refais le produit et par identification tu déduis a,b,c. peut être que a=1 ? à confirmer

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jamo** · 07/10/2014, 16h51

pour le 3)b :
une fois trouvé a,b,c P(z)=[(z-(1+i)(z-(1-i)](az²+bz+c) P(z)=0 si ?( un produit est nul si ....) d'où la factorisation

**Flof54** · 07/10/2014, 16h52

Je trouve désormais :

az^4+bz^3+cz²-2az^3-2bz²-2cz+2a²+2bz+2c

**jamo** · 07/10/2014, 16h55

certes ( je n'ai pas vérifié le calcul) mais tu dois grouper les mêmes puissances

**Flof54** · 07/10/2014, 17h04

J’obtiens :

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c

**jamo** · 07/10/2014, 17h07

Envoyé par Flof54

J’obtiens :

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c=az^4+(b-2a)z^3+.....
y a plus qu'à identifier avec P(z) cad deux polynômes sont égaux s'ils ont les mêmes coefficients , le a se déduit facilement

**Flof54** · 07/10/2014, 17h16

En faisant plusieurs systèmes d'équations j'obtiens :

a=1
b=-4
c=13

**Flof54** · 07/10/2014, 17h30

J'en déduis que P(z) est égal à (z²-2z+2)(z²-4z+13) soit un produit de deux polynômes du second degré.

**Flof54** · 07/10/2014, 17h47

En calculant delta, j'obtiens 4 solutions différentes de P(z)=0 dans C :

z=1-i
z=1+i
z=2-3i
z=2+3i

Exercice 1 terminé.

Maintenant j'aimerais savoir si pour la 1) de l'ex2, la réponse est bien la suivante :

Z+Zbarre = [5(x+iy)-2]/(x+iy-1) + [5(x-iy)-2]/(x-iy-1)

Pour la 2) je ne sais pas comment faire.

**Noct** · 07/10/2014, 18h35

On te demandait d'exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et c'est bien ce que tu as fait.
Pour la 2) , si $\text{[math]}$ appartient à l'axe des ordonnées , alors que vaut $\text{[math]}$ et donc que vaut $\text{[math]}$ ?

**Flof54** · 07/10/2014, 20h24

Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur. Ainsi, dans l'expression z=x+iy, x vaut 0.
Donc Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)

**Noct** · 07/10/2014, 20h33

Non , $\text{[math]}$ est le point d'affixe $\text{[math]}$ et non d'affixe $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est le point image de $\text{[math]}$ par l'application.

**Flof54** · 07/10/2014, 20h37

Pourtant dans l'énoncé il est bel et bien marqué que le point M' a pour affixe Z.

**Noct** · 07/10/2014, 20h45

Oui, je me suis emmelé les pinceaux aussi du coup . . Il y a un Z et un z , ce n'est pas la même chose. M' est d'affixe Z et M d'affixe z.

**Flof54** · 07/10/2014, 20h46

Donc c'est juste ce que j'ai écrit ?

**Noct** · 07/10/2014, 20h49

Non.

Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur

C'est Z qui est imaginaire pur.

**Flof54** · 07/10/2014, 20h57

Mais si Z est un imaginaire pur, alors Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)
Il ne subsiste alors que la partie imaginaire du complexe z.

**Noct** · 07/10/2014, 21h00

Non , en écrivant ça , tu dis que z est imaginaire pur et non Z. Tu fais une confusion entre les deux.

**Flof54** · 07/10/2014, 21h02

Donc pour que Z soit imaginaire pur, il faut que Z = 5z/z ?

**Noct** · 07/10/2014, 21h08

Tu as déjà l'égalité $\text{[math]}$ .
Maintenant , traduis le fait que $\text{[math]}$ soit imaginaire pur. Que vaut $\text{[math]}$ ?

**Flof54** · 07/10/2014, 21h14

Pour que Z soit imaginaire pur, il faut qu'il ne reste que 5z au numérateur et z au dénominateur ?

**gg0** · 07/10/2014, 21h19

5z/z n'est pas imaginaire pur, c'est le réel 5.

C'est quand même dommage de ne pas additionner les deux fractions ! Ni d'avoir réfléchi à ce qui se passe quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib.

**Noct** · 07/10/2014, 21h19

Bah non, dans ce cas on aurait Z = 5.
Je te demande juste ce que vaut $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ est imaginaire pur.

**Flof54** · 07/10/2014, 21h42

quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib, ce complexe devient réel pur.

**gg0** · 07/10/2014, 21h48

Non,

le complexe ne devient pas autre chose que ce qu'il est, mais on obtient (somme) un réel.
Donc si Z+Zbarre est imaginaire pur ...

**Flof54** · 07/10/2014, 22h03

Je ne vois déjà pas à quoi ressemble Z imaginaire...

**gg0** · 08/10/2014, 08h22

Si tu ne sais pas ce que veut dire "imaginaire pur", apprends ton cours. C'est d'ailleurs la première chose à faire, bien avant de commencer des exercices d'application.

Bon travail !

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