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Nombres complexes



  1. #1
    Flof54

    Nombres complexes


    ------

    Bonjour,
    j'ai quelques difficultés avec certaines question du DM ci dessous :

    Nom : DM.jpg
Affichages : 50
Taille : 207,0 Ko

    Pas trop de problèmes jusqu'à la question 3a) de l'exercice 1. Je ne vois pas comment je pourrais vérifier que P(z) est le produit de Q(z) et de Q1(z). Par conséquent je ne peux pas faire le b).

    Concernant l'exercice 2, j'ai exprimer Z+Zbarre en fonction de z et zbarre soit : Z+Zbarre = (5z-2)/(z-1) + (5zbarre-2)/(zbarre-1). Je ne sais pas si c'est la réponse attendue, ni si elle est juste.
    Pour le 2) de l'exercice 2, là non plus, je ne vois pas comment m'y prendre.

    Pourriez-vous m'aider svp ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes

    Bonjour.

    Il faudra un délai pour que ton sujet soit visible, mais quelques idées :
    1) as-tu calculé Q(z)Q1(z) ?
    2) A priori, on attend une expression transformée (sans doute simple). Tu sais additionner deux fractions ...

    Rappel : Z+Zbarre est un complexe particulier, quel que soit Z.

    Cordialement.

  3. #3
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    J'ai donc calculer Q(z)*Q1(z) qui est un polynôme qu'on doit déterminer. Cela donne :

    [(z-(1+i)(z-(1-i)](z²+bz+c)

    = z^4+bz^3+cz²-2z^3-2zc+2z²+2c

    Je trouve ce résultat assez bizarre. Qu'en pensez-vous ? Si ce résultat est juste, que dois-je faire ?

  4. #4
    jamo

    Re : Nombres complexes

    Bonjour
    Q1(z)=az²+bz+c et non z²+bz+c , refais le produit et par identification tu déduis a,b,c. peut être que a=1 ? à confirmer
    Dernière modification par jamo ; 07/10/2014 à 16h43.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jamo

    Re : Nombres complexes

    pour le 3)b :
    une fois trouvé a,b,c P(z)=[(z-(1+i)(z-(1-i)](az²+bz+c) P(z)=0 si ?( un produit est nul si ....) d'où la factorisation

  7. #6
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Je trouve désormais :

    az^4+bz^3+cz²-2az^3-2bz²-2cz+2a²+2bz+2c

  8. #7
    jamo

    Re : Nombres complexes

    certes ( je n'ai pas vérifié le calcul) mais tu dois grouper les mêmes puissances

  9. #8
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    J’obtiens :

    az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c

  10. #9
    jamo

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par Flof54 Voir le message
    J’obtiens :

    az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c
    az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c=az^4+(b-2a)z^3+.....
    y a plus qu'à identifier avec P(z) cad deux polynômes sont égaux s'ils ont les mêmes coefficients , le a se déduit facilement

  11. #10
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    En faisant plusieurs systèmes d'équations j'obtiens :

    a=1
    b=-4
    c=13

  12. #11
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    J'en déduis que P(z) est égal à (z²-2z+2)(z²-4z+13) soit un produit de deux polynômes du second degré.

  13. #12
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    En calculant delta, j'obtiens 4 solutions différentes de P(z)=0 dans C :

    z=1-i
    z=1+i
    z=2-3i
    z=2+3i

    Exercice 1 terminé.

    Maintenant j'aimerais savoir si pour la 1) de l'ex2, la réponse est bien la suivante :

    Z+Zbarre = [5(x+iy)-2]/(x+iy-1) + [5(x-iy)-2]/(x-iy-1)

    Pour la 2) je ne sais pas comment faire.

  14. #13
    Noct

    Re : Nombres complexes

    On te demandait d'exprimer en fonction de et et c'est bien ce que tu as fait.
    Pour la 2) , si appartient à l'axe des ordonnées , alors que vaut et donc que vaut ?

  15. #14
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur. Ainsi, dans l'expression z=x+iy, x vaut 0.
    Donc Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)

  16. #15
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Non , est le point d'affixe et non d'affixe . est le point image de par l'application.

  17. #16
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Pourtant dans l'énoncé il est bel et bien marqué que le point M' a pour affixe Z.

  18. #17
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Oui, je me suis emmelé les pinceaux aussi du coup . . Il y a un Z et un z , ce n'est pas la même chose. M' est d'affixe Z et M d'affixe z.

  19. #18
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Donc c'est juste ce que j'ai écrit ?

  20. #19
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Non.
    Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur
    C'est Z qui est imaginaire pur.

  21. #20
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Mais si Z est un imaginaire pur, alors Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)
    Il ne subsiste alors que la partie imaginaire du complexe z.

  22. #21
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Non , en écrivant ça , tu dis que z est imaginaire pur et non Z. Tu fais une confusion entre les deux.

  23. #22
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Donc pour que Z soit imaginaire pur, il faut que Z = 5z/z ?

  24. #23
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Tu as déjà l'égalité .
    Maintenant , traduis le fait que soit imaginaire pur. Que vaut ?
    Dernière modification par Noct ; 07/10/2014 à 21h09.

  25. #24
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Pour que Z soit imaginaire pur, il faut qu'il ne reste que 5z au numérateur et z au dénominateur ?

  26. #25
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes

    5z/z n'est pas imaginaire pur, c'est le réel 5.

    C'est quand même dommage de ne pas additionner les deux fractions ! Ni d'avoir réfléchi à ce qui se passe quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib.
    Dernière modification par gg0 ; 07/10/2014 à 21h20.

  27. #26
    Noct

    Re : Nombres complexes

    Bah non, dans ce cas on aurait Z = 5.
    Je te demande juste ce que vaut si est imaginaire pur.

  28. #27
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib, ce complexe devient réel pur.

  29. #28
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes

    Non,

    le complexe ne devient pas autre chose que ce qu'il est, mais on obtient (somme) un réel.
    Donc si Z+Zbarre est imaginaire pur ...

  30. #29
    Flof54

    Re : Nombres complexes

    Je ne vois déjà pas à quoi ressemble Z imaginaire...

  31. #30
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombres complexes

    Si tu ne sais pas ce que veut dire "imaginaire pur", apprends ton cours. C'est d'ailleurs la première chose à faire, bien avant de commencer des exercices d'application.

    Bon travail !

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