Nombres complexes

[inviteb5d1f14f]

Bonjour,
j'ai quelques difficultés avec certaines question du DM ci dessous :



Pas trop de problèmes jusqu'à la question 3a) de l'exercice 1. Je ne vois pas comment je pourrais vérifier que P(z) est le produit de Q(z) et de Q1(z). Par conséquent je ne peux pas faire le b).

Concernant l'exercice 2, j'ai exprimer Z+Zbarre en fonction de z et zbarre soit : Z+Zbarre = (5z-2)/(z-1) + (5zbarre-2)/(zbarre-1). Je ne sais pas si c'est la réponse attendue, ni si elle est juste.
Pour le 2) de l'exercice 2, là non plus, je ne vois pas comment m'y prendre.

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Il faudra un délai pour que ton sujet soit visible, mais quelques idées :
1) as-tu calculé Q(z)Q1(z) ?
2) A priori, on attend une expression transformée (sans doute simple). Tu sais additionner deux fractions ...

Rappel : Z+Zbarre est un complexe particulier, quel que soit Z.

Cordialement.

[inviteb5d1f14f]

J'ai donc calculer Q(z)*Q1(z) qui est un polynôme qu'on doit déterminer. Cela donne :

[(z-(1+i)(z-(1-i)](z²+bz+c)

= z^4+bz^3+cz²-2z^3-2zc+2z²+2c

Je trouve ce résultat assez bizarre. Qu'en pensez-vous ? Si ce résultat est juste, que dois-je faire ?

[invite8d4af10e]

Bonjour
Q1(z)=az²+bz+c et non z²+bz+c , refais le produit et par identification tu déduis a,b,c. peut être que a=1 ? à confirmer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

pour le 3)b :
une fois trouvé a,b,c P(z)=[(z-(1+i)(z-(1-i)](az²+bz+c) P(z)=0 si ?( un produit est nul si ....) d'où la factorisation

[inviteb5d1f14f]

Je trouve désormais :

az^4+bz^3+cz²-2az^3-2bz²-2cz+2a²+2bz+2c

[invite8d4af10e]

certes ( je n'ai pas vérifié le calcul) mais tu dois grouper les mêmes puissances

[inviteb5d1f14f]

J’obtiens :

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c

[invite8d4af10e]

J’obtiens :

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c

az^4+bz^3-2az^3-2bz²+cz²-2cz+2bz+2c=az^4+(b-2a)z^3+.....
y a plus qu'à identifier avec P(z) cad deux polynômes sont égaux s'ils ont les mêmes coefficients , le a se déduit facilement

[inviteb5d1f14f]

En faisant plusieurs systèmes d'équations j'obtiens :

a=1
b=-4
c=13

[inviteb5d1f14f]

J'en déduis que P(z) est égal à (z²-2z+2)(z²-4z+13) soit un produit de deux polynômes du second degré.

[inviteb5d1f14f]

En calculant delta, j'obtiens 4 solutions différentes de P(z)=0 dans C :

z=1-i
z=1+i
z=2-3i
z=2+3i

Exercice 1 terminé.

Maintenant j'aimerais savoir si pour la 1) de l'ex2, la réponse est bien la suivante :

Z+Zbarre = [5(x+iy)-2]/(x+iy-1) + [5(x-iy)-2]/(x-iy-1)

Pour la 2) je ne sais pas comment faire.

[invite8ab5fa54]

On te demandait d'exprimer en fonction de et et c'est bien ce que tu as fait.
Pour la 2) , si appartient à l'axe des ordonnées , alors que vaut et donc que vaut ?

[inviteb5d1f14f]

Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur. Ainsi, dans l'expression z=x+iy, x vaut 0.
Donc Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)

[invite8ab5fa54]

Non , est le point d'affixe et non d'affixe . est le point image de par l'application.

[inviteb5d1f14f]

Pourtant dans l'énoncé il est bel et bien marqué que le point M' a pour affixe Z.

[invite8ab5fa54]

Oui, je me suis emmelé les pinceaux aussi du coup . . Il y a un Z et un z , ce n'est pas la même chose. M' est d'affixe Z et M d'affixe z.

[inviteb5d1f14f]

Donc c'est juste ce que j'ai écrit ?

[invite8ab5fa54]

Non.

Si M' appartient à l'axe des ordonnées, z est un imaginaire pur

C'est Z qui est imaginaire pur.

[inviteb5d1f14f]

Mais si Z est un imaginaire pur, alors Z = [5(0+iy)-2]/(0+iy-1) = (5iy-2)/(iy-1)
Il ne subsiste alors que la partie imaginaire du complexe z.

[invite8ab5fa54]

Non , en écrivant ça , tu dis que z est imaginaire pur et non Z. Tu fais une confusion entre les deux.

[inviteb5d1f14f]

Donc pour que Z soit imaginaire pur, il faut que Z = 5z/z ?

[invite8ab5fa54]

Tu as déjà l'égalité .
Maintenant , traduis le fait que soit imaginaire pur. Que vaut ?

[inviteb5d1f14f]

Pour que Z soit imaginaire pur, il faut qu'il ne reste que 5z au numérateur et z au dénominateur ?

[gg0]

5z/z n'est pas imaginaire pur, c'est le réel 5.

C'est quand même dommage de ne pas additionner les deux fractions ! Ni d'avoir réfléchi à ce qui se passe quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib.

[invite8ab5fa54]

Bah non, dans ce cas on aurait Z = 5.
Je te demande juste ce que vaut si est imaginaire pur.

[inviteb5d1f14f]

quand on additionne un complexe a+ib et son conjugué a-ib, ce complexe devient réel pur.

[gg0]

Non,

le complexe ne devient pas autre chose que ce qu'il est, mais on obtient (somme) un réel.
Donc si Z+Zbarre est imaginaire pur ...

[inviteb5d1f14f]

Je ne vois déjà pas à quoi ressemble Z imaginaire...

[gg0]

Si tu ne sais pas ce que veut dire "imaginaire pur", apprends ton cours. C'est d'ailleurs la première chose à faire, bien avant de commencer des exercices d'application.

Bon travail !