Suites (démonstration par récurrence) TS

[azolio]

Bonjour tout le monde !!!

J'aurais besoin de votre aide pour l'exercice suivant, il faut dire que j'ai vraiment du mal avec ce chapitre...J'éspère qu'un esprit plus éclairé que le miens passera par là !

"Soit (Un )n∈N une suite définie par u0=1 et la relation de récurrence Un+1= √(6+Un ) .
1. Démontrer que la suite (Un) existe, est croissante et majorée par 3.
2. Montrer que, pour tout n∈N, 3 - Un+1 ≤ 1/4 (3- Un).
3. En déduire, pour tout n∈N, 0 ≤ 3 - Un ≤ 2/4ⁿ. Déterminer la limite de Un."

Pour la question 1 j'ai trouvé comment démontrer mais je bloque encore sur les questions 2 et 3...

Je vous mets quand même ce que j'ai commencé à faire :

J'ai pensé à le démontrer par récurrence, mais à l'étape de l'hérédité je n'arrive pas à replacer le 1/4...

2. Initialisation : pour n = 0

3 - u_n ≤ 1/4( 3- u₀) <=> 3 - √7 ≤ 1/2

P(0) est donc vraie.

C'est là que je ne vois pas d'où vient le "1/4"

Merci d'avance !
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[Gandhi33]

Pas besoin de savoir d'où il vient, il suffit de continuer ta démonstration en utilisant ta relation de récurrence

[azolio]

D'accord ! J'ai essayé de démontrer comme ça mais je suis pas sûre de moi du tout :

Alors, comme j'ai montré que la suite était majorée par 3 j'ai donc :

D'une part :
U_n ≤ 3
<=> 3 - u_n ≥ 0
<=> 1/4 (3 - u_n) ≥ 0
Et d'autre part :
u_n+1 ≤ 3
<=> 3 - u_n+1 ≥ 0

Par différence des deux inégalités je retrouve (3 - u_n+1 ) - 1/4 (3 - u_n) ≥ 0 <=> 3 - u_n+1 ≥ 1/4 (3 - u_n)

C'est ça ou j'en suis encore loin ?

[Gandhi33]

Ça m'a l'air tout à fait correct

[A voir en vidéo sur Futura]

[azolio]

Merci !

Pourriez-vous m'aider un peu pour la dernière question ? Je n'ai aucune idée de comment m'y prendre...

[azolio]

Vraiment personne....?

[Noct]

La 3) se montre également par récurrence en s'aidant du résultat établi en 2)

[azolio]

Merci pour votre réponse,

J'ai pensé à cette démarche mais je n'arrive pas à démontrer la partie "hérédité"...

[Gandhi33]

Et pour la limite de la suite tu utilises le théorème des gendarmes

[azolio]

Merci pour votre réponse !

Démonstration par récurrence :

Initialisation :
Pour n = 0 0≤ 2 ≤ 2
P(0) vraie.

Heredité : Supposons que 0 ≤ 3-Un ≤2/4^n et montrons que 3-Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

D’après la question 2) 3-Un+1 ≤1/4(3-Un)

⟺4(3- Un+1) ≤3-Un

or 3-Un ≤ 2/4^n d' où 4(3- Un+1) ≤ 2/4^n ⟺ 3- Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

De plus, nous avons démontré à la question précédente que 3- Un+1 ≥ 0

On retrouve donc bien : 0 ≤ 3- Un+1 ≤ 2/4^(n+1).

Calcul de la limite de Un :

lim Un = lim (3 - 2/4^n) = 3

C'est correct ?

[Noct]

La limite de (Un) est bien 3 , mais ta démonstration n'est pas complète. Pourquoi lim Un = lim (3 - 2/4^n) ?

[azolio]

On a : 0 ≤ 3- Un ≤ 2/4^n

<=> -3 ≤ - Un ≤ 2/4^n
<=> 3 ≥ Un ≥ 3 - 2/4^n

D'après le théorème des gendarmes :

lim 3 = lim (3 - 2/4^n) = lim Un

Donc lim Un = 3