Etude de fonctions - 1ere S

[invite6ac18b48]

Bonjour tout le monde,j'ai un DS de maths la semaine prochaine sur les fonctions associes et voici un exo que je ne sais pas faire.

Minimum d'une fonction:

Soit f(x) = V(x^2 + 2x + 5) pour tout x reel.
1. Demontrer que pour tout x reel,
f(x) - 2 = ((x + 1)^2)/ (V(x^2 + 2x + 5) + 2)
2.En deduire que f(x) >= 2 pour tout x reel.
3.En deduire le minimum de f sur R.

Mes reponses:
1. V(x^2 + 2x + 5) - 2
On multiplie le numerateur et le denominateur par V(x^2 + 2x + 5) + 2
On obtient (x^2 + 2x + 1)/(V(x^2 + 2x + 5) - 2)
On repere l'identite remarquable a^2 + 2ab + b^2 au niveau du numerateur;on aura finalement:
((x + 1)^2)/(V(x^2 + 2x + 5) - 2)

Pour la 2 et la 3 je n'ai aucune idee sur comment faire,aidiez moi s'il vous plait.
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[PlaneteF]

Bonjour,

1. Demontrer que pour tout x reel,
f(x) - 2 = ((x + 1)^2)/ (V(x^2 + 2x + 5) + 2)

Quel est le signe évident du deuxième membre de cette égalité ? --> Conclusion.

Cordialement

[invite6ac18b48]

Le deuxieme membre me parait de signe positif,ce qui m'est dur c'est comment demontrer que f(x) >= 2 pour tout x reel,comment ecrire le raisonnement de facon mathematique et comme ca.

[PlaneteF]

Le deuxieme membre me parait de signe positif, (...)

"Il te parait" (sic) ou tu en es sûr/sure en sachant le justifier ?! ... Sinon positif veut dire

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ac18b48]

Certain que c'est positif,Je dit qu'il est positif car (x + 1)^2 >=0 pour tout x reel puisque
son minimum est 0.
Et puisque V(x^2 + 2x + 5) a pour forme canonique V(x + 1)^2 + 4 donc son minimum est egale a 4 alors
C'est positive pour tout x reel ajouter le + 2 telle que V(x^2 + 2x + 5) + 2 Ne changera pas le signe.
Enfin deux termes positives l'un divise par l'autre donne un resultat positif..
Mais justifier que f(x) >= 2 ca je ne sait pas le faire.

[PlaneteF]

Mais justifier que f(x) >= 2 ca je ne sait pas le faire.

C'est tellement évident que je ne vois même pas quel indice je pourrais te donner

est égal à une quantité positive, donc est aussi une quantité positive, donc ...

Cdt

[invite6ac18b48]

C'est a dire que resoudre f(x) >= 2 revient a resoudre f(x) - 2 >= 0 (puisque l'un equivaut l'autre),
Si c'est le cas,
Pour tout x reel x^2 + 2x + 5 > 0 car sa forme canonique est telle que (x + 1)^2 + 4,
Donc V(x^2 + 2x + 5) + 2 > 0.
De plus (x + 1)^2 >= 0 donc f(x) - 2 >= 0 par suite f(x) >= 2 pour tout x reelle

Mais pour la 3) comment faire pour en deduire le minimum de f(x) sur R?

[invite8ab5fa54]

Probablement essayer de montrer que 2 est une valeur atteinte par f

[PlaneteF]

C'est a dire que resoudre f(x) >= 2 revient a resoudre f(x) - 2 >= 0 (puisque l'un equivaut l'autre),
Si c'est le cas,

Mais comment peux-tu ne pas être sûr/sure de cela en étant en 1èreS ???

Cdt