Suite géométrique et convergente !

[invite512fe8d9]

Bonjour à tous,
Je rames un peu sur un des exercices de mon devoir maison de maths !
Voilà l'énoncé :
- La suite (Un) est définis par U0=1/2 et pour tout entier naturel n Un+1= 3Un/1+2Un. Ka suite est positive, majorée par 1, croissante et convergente.
Soit (Vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par Vn= Un/1-Un.

1) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3.
Là je sais que je dois calculer Vn+1 et arriver à la fin à 3xVn, mais je n'arrive pas à faire le développement du calcul, je bloque dès le début ..

2) Exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
Celui là je penses avoir réussi. Comme Vn=V0*q^n, j'ai calculé V0, puis j'ai trouvé Vn = 3^n. Est ce que c'est juste ?

3) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=3^n/3^n+1.
Pour cette question je ne sais pas du tout comment m'y prendre ... Comment faire ?

4) Déterminer la limite de la suite (Un)
Comme (Un) est convergente car elle est croissante et majorée, j'ai cherchée la limite L et avec une équation j'ai trouvé que la limite de la suite c'était 1 est ce juste ?

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite8ab5fa54]

Pour la 1. ) . Ensuite , tu multiplies le numérateur et le dénominateur par .
Pour la 3. ) tu sais que , d'où tu peux tirer l'expression que tu cherches.

[PlaneteF]

Bonjour,

Beaucoup de tes écritures sont fausses par manque de parenthèses :

Un+1= 3Un/1+2Un

Là tu écris que :

Vn= Un/1-Un

Là tu écris que :

Un=3^n/3^n+1

Là tu écris que :


Cordialement

[invite512fe8d9]

Merci !
Pour la question 1.) je dois donc multiplier (3Un/1+2Un) par 1+2Un ainsi que ((1-3Un)/(1+2Un)). Après ça je trouve (3Un)/(1-3Un), puis 3(Un/(1-Un)) qui est bien égale à 3 x Vn.
C'est bien ça ?

Cependant pour la 3.) je vois pas du tout le cheminement à prendre ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Pour la question 1.) je dois donc multiplier (3Un/1+2Un) par 1+2Un ainsi que (1-3Un/1+2Un). Après ça je trouve 3Un/1-3Un, puis 3(Un/1-Un) qui est bien égale à 3 x Vn.

Même remarque que dans le message#3

Cdt

[invite512fe8d9]

Oh merci beaucoup de me rectifier je ferais plus attention les prochaines fois

[invite8ab5fa54]

Pour la 3.) , tu as , il te suffit d'isoler .
Tu peux commencer par enlever la fraction , en multipliant l'égalité par .

[invite512fe8d9]

Mais lorsque l'on multiplie par (1-Un), il ne reste plus que 3ⁿ=Un non ?

[invite8ab5fa54]

Non , il faut le multiplier des deux côtés de l'égalité, sinon l'égalité n'est plus vraie..

[invite512fe8d9]

Ah oui merci je n'y avais plus pensée
Donc cela donne Un=(3^n)x(1-Un)
= (3^nx1)-(3^n x Un) (j'ai développée)

C'est ça ? Mais que faire après ça ?

[invite8ab5fa54]

Ben après tu isoles ton . C'est la même méthode que pour résoudre une équation à une inconnue.

[invite512fe8d9]

Oui je sais bien, mais je ne vois pas comment faire ..

[invite8ab5fa54]

Je pensais qu'au lycée , les équations à une inconnue c'était acquis.
Tu fais passer de l'autre côté et tu factorises par