Solution de f(x) = x

[invite7fedc85a]

Bonjour à tous
Voilà mon problème :

f est une fonction continue sur R, a et b sont deux réels tels que 0 < a < b < 1, f(a) = 0 et f(b) = 1
g est la fonction définie sur R par g(x) = f(x) - x

On nous demande de montrer que g(a) < 0 et g(b) > 1, ce que j'ai fait, puis on nous demande d'en déduire que f(x)=x admet au moins une solution dans l'intervalle ]0;1[ et c'est là que je bloque :/

Pourriez m'indiquer des pistes de début sur lesquelles m'appuyer ? (Je suis en terminale S)
Merci d'avance
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[invite8ab5fa54]

L'équation f(x) = x est équivalente à l'équation g(x) = 0
On montre facilement que g est continue , g(a) < 0 , g(b) > 0 , donc d'après un théorème bien connu...

[invite7fedc85a]

Comment sait on que f(x) = x est équivalente a g(x) = 0 ?
EDIT : c'est bon je sais

EDIT2 : par contre je ne vois pas comment utiliser le theoreme des valeurs intermédiaires ?

[Seirios]

La fonction prend une valeur négative puis un peu après une valeur strictement positive, donc elle doit bien s'annuler quelque part entre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7fedc85a]

Donc il suffit de dire que comme on a g(a) <0, g(b)>0, g(x) continue sur ]0;1[ et que f(x)=x pour g(x)=0 alors selon le théoreme des valeurs intermédiaires f(x)=x possède au moins une solution lorsque g(x) = 0 ?

[invite8ab5fa54]

Oui. Si tu trouves que quelque chose cloche dans ce raisonnement , tu peux nous le dire.

[invite7fedc85a]

On montre que g(x) est continue car elle n'a pas de valeurs interdites sur l'intervalle ]0;1[ ?

[PlaneteF]

Bonjour,

On montre que g(x) est continue car elle n'a pas de valeurs interdites sur l'intervalle ]0;1[ ?

Non, cette justification est complètement fausse, ... et il est très facile de donner un contre-exemple.

Cordialement

[invite7fedc85a]

Comment alors ?

[PlaneteF]

Cdt

[invite621f0bb4]

L'identité, de mémoire, n'est pas un terme beaucoup utilisé en TS.

[invite7fedc85a]

Oui, identité signifie un nombre quelconque ?

[PlaneteF]

Oui, identité signifie un nombre quelconque ?

Non, pas du tout, ... ici est la fonction de vers telle que . Cette fonction est bien évidemment continue sur . D'après l'énoncé il en est de même pour .

Conclusion.

Cdt

[invite7fedc85a]

D'accord mais je peux pas utiliser ça comme justification puisque je ne l'ai pas vu

[invite8ab5fa54]

Si , tu peux l'utiliser , tu sais que cette fonction est continue et que la somme de fonctions continues est continue. C'est juste le fait de l'avoir appelé identité qui te gêne , mas c'est la même chose.

[invite7fedc85a]

Ok, merci !