Probleme d'algebre

[invite8475535d]

Je viens de découvrir dans un vieux livre d’algèbre l'exercice suivant :

une somme de 69,60 francs a été perçue de 30 personnes, (hommes, femmes et enfants),
les hommes versant 4,20 francs , les femmes 1,65 francs et les enfants 0,30 francs.
trouver le nombre d'hommes de femmes et d'enfants ayant cotisé ?.

La réponse est:
x,y,z, les trois nombres.
Eq. x+y+z =30, 84x+33y+6z=1392.
Rép. 10 hommes, 16 femmes, 4 enfants.

Je serai curieux de connaitre le détail des calculs aboutissant à cette réponse, n’ayant pas encore résolu de problème à trois inconnus, je n'arrive pas à raisonner correctement.
Merci d'avance pour votre intérêt à ce problème.
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[invitef29758b5]

Salut
Pour trois inconnues il faut trois équations .
Mais dans ce problème une condition supplémentaire est donnée par les fait que la solution est en nombres entier .

[invite5805c432]

2 equations à 3 inconnues.
Donc tu peux resoudre le système en exprimant 2 inconnues (x et y par exemple) en fonction de la troisième (dans ce cas z).

Maintenant, la solution cherchée correspond à 3 valeurs x, y , z entières et positive, et inférieures à 30.

donc il va faire parcourir z dans {1, 2, 3 ... 30}, et voit pour qu'elles valeurs x calculée en fonction de (z) et y calculée en fonctio nde (z), sont entières, positives.

[invite7d8bc1d8]

Bonjour,
Pour l'équation 84x+33y+6z=1392 on voit tout de suite que l'on peut simplifier par 3 ce qui donne
28x+11y+2z=464 .La recherche de la solution consistera donc à résoudre une équation diophantienne linéaire
à trois variables. Comme le coefficient 11 de y est premier cela nous facilite un peu la tache. En effet dans
ce cas j'écris 28x+11y=464-2z. Déterminons alors une solution particulière de 28x+11y=1

.....28.....11......6......5.. ....1
..............2........1...... 1
............(-5).....(2)....-1
on obtient donc 28(2)+11(-5)=1 . Il vient donc :
28(928-4z)+11(-2320+10z)=464-2z d'où 28(x-(928-4z))+11(y-(-2320+10z)=0
Le théorème de Gauss nous permet d'écrire
x=11k+928-4z ..... et ...... y=-28k+10z-2320. Effectuant le changement suivant k=K-84
d'où x=11k1+4-4z....... et .... y=-28k1+32+10z. Reportons
(11k1+4-4z)+-28k1+32+10z+z=30 soit 7z=17k1-6 . Puisque l'entier x doit être inférieur à (69,60/4,20)
soit x<17 et que (17k1-6) peut être divisible par 7. En cherchant dans cette direction je trouve k1=2 et donc
z=4 , x=10 et y=16. Tout autre direction ne peut pas convenir.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]