nombres complexes trigonométrie

[invitec08d8c0c]

bonsoir

je pensais en avoir fini avec ce DM mais non me revoilà bloqué :
voici l'énoncer

z=ei 2pi/5

on pose Z =z+1/z

montrer que Z²+Z-1=0 ( je suppose qu'il faut développer mais je ne trouve pas 0 c'est ça le problème

(z+1/z)² + (z+1/z) - 1 = 0
z²+2z/z + 1/z² + z +1/z -1 je voudrais savoir si pour l’instant c'est bon ?

montrer que z+1/z =2cos(2pi/5) ( alors la c'est le trous noir )
en déduire la valeur exacte de cos (2pi/5)

si vous pouvais m'aider ce serais génial merci
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[PlaneteF]

Bonsoir,

z²+2z/z + 1/z² + z +1/z -1 je voudrais savoir si pour l’instant c'est bon ?

Maintenant tu peux mettre en facteur en faisant ainsi apparaître la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, dont la valeur est facile à montrer.


Cordialement

[invite8ab5fa54]

montrer que z+1/z =2cos(2pi/5) ( alors la c'est le trous noir )

Rien de bien compliqué ici , il faut écrire z+1/z sous forme trigonométrique et utiliser ce que tu sais sur les parités de cos et sin.
N.B. : Tu peux aussi remarquer que z et 1/z sont conjugués.

[invitec08d8c0c]

z et 1/z sont conjugués ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec08d8c0c]

je n'arrive même pas a mettre sous facteur tellement que ce DM me stresse

[invitec08d8c0c]

[QUOTE=PlaneteF;5036362]Bonsoir,





Maintenant tu peux mettre en facteur en faisant ainsi apparaître la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, dont la valeur est facile à montrer.


je n'arrive pas a trouver 0 malgré la factorisation , je vous assure que j'essaye mais la ça me désespère

[PlaneteF]

je n'arrive même pas a mettre sous facteur tellement que ce DM me stresse

Quand tu mets en facteur, tu multiplies chacun des termes par

Cdt

[invitec08d8c0c]

c'est ce que j'ai fait

1/z²(z^4+z²+1+z)

[PlaneteF]

c'est ce que j'ai fait

1/z²(z^4+z²+1+z)

Ce n'est pas tout à fait le bon résultat.

[invitec08d8c0c]

1/z²(z+z²+z^3+z^4) ?

[PlaneteF]

1/z²(1+z+z²+z^3+z^4) ?

Oui, ... et c'est quasi plié, car tu peux reconnaître dans la parenthèse la somme des 5 premiers termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme et de raison

Cdt

[invitec08d8c0c]

D'accooooord mais oui c'est logique en même temps merci beaucoup

[PlaneteF]

Attention à ton message#10, je ne sais pas pourquoi tu as enlevé indûment, dans le délai de 5min, le 1 dans la somme.

Cdt

[invitec08d8c0c]

je pensais avoir fait une erreur mais non , merci de préciser

[invitec08d8c0c]

et comment fait-on pour trouver la valeur exacte de 2pi/5 ?

[invite8ab5fa54]

et comment fait-on pour trouver la valeur exacte de 2pi/5 ?

Tu veux dire de cos(2Pi/5). Tu as montré que 2cos(Pi/5) était solution d'une certaine équation du second degré , que tu sais surement résoudre.
A toi de jouer.