Etude fonction exponentielle

[invite4fe24f03]

Bonjour

Je dois montrer que pour tout reel m :exp de m ⩾ m+1. Je me suis rendu compte que je dois prouver que exp de m - m - 1⩾0. Donc je dois demontrer que f(m)=exp de m - m - 1 est minoree par 0. Quelqu'un a une idee?

Merci
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[invite8ab5fa54]

Bonjour ,
As-tu essayé en étudiant les variations de la fonction sur ?

[invite4fe24f03]

J'ai eu l'idee de calculer lim f(m) quand m tend vers - infini, 0 et + infini. C'est bien ca?

[invite8ab5fa54]

Non , tu n'as pas étudié les variations de f , mais tu as juste calculé les limites. Le simple calcul des limites ne peut pas prouver que f est minorée par 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je dois montrer que pour tout reel m :exp de m ⩾ m+1. Je me suis rendu compte que je dois prouver que exp de m - m - 1⩾0. Donc je dois demontrer que f(m)=exp de m - m - 1 est minoree par 0. Quelqu'un a une idee?

En clair, cela donne :

Je dois montrer que pour tout réel : . Je me suis rendu compte que je dois prouver que . Donc je dois démontrer que est minorée par . Quelqu'un a une idée?

[invite4fe24f03]

Je calcule la derivé f(m)'=exp de m - 1, mais j'arrive pas a demontrer que c'est ⩾ 0

[Seirios]

Juste une remarque en passant : géométriquement, l'inégalité revient à dire que la fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente en (0,1). Cette propriété est en fait vérifiée en tout point : autrement dit, la fonction exponentielle est convexe.

[Seirios]

Je calcule la derivé f(m)'=exp de m - 1, mais j'arrive pas a demontrer que c'est ⩾ 0

C'est simplement parce que ce n'est pas toujours positif : regarde lorsque . Demande-toi plutôt comment déterminer rigoureusement le signe de plutôt que d'essayer de deviner le résultat.

[invite4fe24f03]

Je fais un tableau de signe, mais pour m negatif l'inegalité n'est pas verifié

[invite8ab5fa54]

Attention aux confusions.
Je te rappelle que tu dois montrer que c'est f qui est minorée par 0 et non f'.
f' permet simplement de déterminer les variations de f.

[invite4fe24f03]

Je vous remercie pour votre patience.
J'ai trouvé que f(m) est decroissante pour tout m inf a 0, 0 pour m=0 et croissante pour m sup a 0, mais je ne me rend pas compte comment ca m'aide a verifier l'inegalite.

[invite8ab5fa54]

Regarde attentivement ton tableau de variations et tu verras que la réponse est évidente. Il suffit juste de calculer f(0) maintenant.

[invite4fe24f03]

pour m=0 on a f(m)=0
mais quand m est entre -inf et 0 f(m) est decroissante. je vois bien que le resultat est positif (1/exp de m + lml -1) mais je ne sais pas comment conclure ca

[Seirios]

Peut-être devrais-tu faire un dessin pour te faire une idée de l'allure de ta fonction. Ensuite, demande-toi quelle est la valeur minimale atteinte. Pour une justification rigoureuse, le mot clef est "continuité".

[invite4fe24f03]

Je pose m=-1 pour prouver que f(m) est bien positif
m=0 =>0
m=1 =>f(m) est positif.
c'est bon comme ca?

[invite4fe24f03]

J'ai fait le graph et je vois bien que la valeur minimale est 0.
Comme la fonction est derivable, elle est aussi continue.
Ca suffit?

[PlaneteF]

Je pose m=-1 pour prouver que f(m) est bien positif
m=0 =>0
m=1 =>f(m) est positif.
c'est bon comme ca?

J'ai fait le graph et je vois bien que la valeur minimale est 0.
Comme la fonction est derivable, elle est aussi continue.
Ca suffit?

... Non pas du tout, tu ne démontres absolument rien là.

Tu peux utiliser la croissance et décroissance de pour démontrer rigoureusement que cette fonction est bien positive.

Cordialement