Fonction exponentielle

[inviteb4facf92]

Bonjour à tous !
J'aimerais avoir quelques indications sur certaines questions que l'on m'a donné en devoir maison.
Voilà, on considère la suite (Un) définie par U0=3 et pour tout entier naturel n, U(n+1)= f(Un), nous avons f(x)=(xe^x +1)/(e^x +1).
1) On nous demande de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 inférieur ou égale à U(n+1) inférieur ou égale à U.
Ce que j'ai fais, Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 inférieur ou égale à U(n+1) inférieur ou égale à U.
*Initialisation: Uo=3 et U1= (3e^3 +1)/(e^3 +1)= (environ) 2.90. 0<2.90<3 d'où 0 inférieur ou égale à U(1) inférieur ou égale à Uo.
Donc p(n) vraie pour n=1
*Hérédité: Supposons pour n donné avec 1<n, que p(n) vraie. Montrons que p(n+1) vraie, c-à-d (et c'est là ou je bloque le plus)
o<U(n+2)<U(n+1).
Nous avons 0<f(Un)<Un je remplace f(un) par sa valeur, 0< (Un*e^un +1)/(e^un +1)<Un
0 < e^un(Un*e^un +1) / (e^un +1) < Un*e^un
1< e^un(Un*e^un +1)/(e^un +1) +1< Un*e^un +1 égale à 1< e^un*f(Un) +1 < Un*e^un +1
1< (e^un*f(Un) +1) /(e^un +1) < (Un*e^un +1)/(e^un +1) et à partir de là je ne sais plus quoi faire.... ceci n'est pas égal à U(n+2)...

2) On me demande de démontrer que la suite (Un) est convergente. Ici je montre que la suite est décroissante et que la limite en -infini de f(x) est 1 donc en associant la fonction f(x)=f(Un) que la suite (Un) converge vers 1.

3) Ecrire un algorithme dans lequel on entre un réel positif A et qui affiche le plus petit entier n tel que : Un<1+A. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : Un<1.01.
Alors ici c'est le flou total, je ne sais pas comment réaliser l'algorithme.

Merci d'avance de vous attarder sur mon problème
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour la question1 :

Tu peux étudier les variations de la fonction sur , et à partir de là, la récurrence est évidente.

Pour la question2 :

Ta justification est complètement fausse, je ne vois pas le rapport entre la limite de en et ta conclusion ?


Cordialement

[PlaneteF]

Pour la question2 :

Ta justification est complètement fausse, je ne vois pas le rapport entre la limite de en et ta conclusion ?

Et je complète ce point en rajoutant la chose suivante : De toute manière, dans cet exercice, tout se qui se passe pour en dehors de l'intervalle ne nous intéresse pas, ... donc tu peux laisser tomber les calculs de limite en


N.B. : Attention à ne pas confondre limite de la fonction et limite de la suite !


Cdt