Les fonctions hyperboliques

[Casillas38]

Bonjour, j'ai un devoir à rendre mais je bloque sur certaine questions...

Voila l'énoncé :

On définit sur R les fonctions :
ch(x) = (e^x + e^-x) / 2
sh(x) = (e^x - e^-x) / 2
th(x) = sh(x) / ch(x)

1) Étudier la parité des ces trois fonctions sur R. Pour cette question pas de problèmes.

2) a. Justifier que sh est dérivable et sh' = ch
b. Dresser le tableau de variations de sh
c. Calculer les limites en -oo et +oo

3) a. Justifier que ch est dérivable et que ch' = sh. En déduire les variations de ch et calculer ses limites en +oo et -oo
b. Montrer que ch²(x) - sh²(x) = 1 pour tout réel x.
Pour les questions 2 et 3, je n'ai pas eu de problème non plus.

4) a) Justifier que ch est dérivable et que th' = 1/ch²(x) pour tout réel x. (Pour cette question je pense avoir réussi)
b) Calculer les limites en +oo et en -oo
Pour cette question j'arrive à derterminer la limite en +oo mais pas celle en -oo car je tombe toujours sur une forme indéterminée...


5) Calculer lim x.sh(1/x)
x-->+oo

Pour cette question non plus je ne vois pas comment faire...

Si on remplace x dans l'expression par 1/x et qu'on multiplie ensuite par x, on retrouve l'expression de départ, non ?

Pourriez-vous m'aidez ?

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

4 b : A priori, les limites en -oo se font exactement comme en +oo, -x remplaçant x et réciproquement.
5 : On peut faire (ce que tu suggères ?) un changement de variable, en prenant t=1/x et on tombe sur une formule de première, celle de la dérivée (en 0).

Cordialement.

[Casillas38]

Bonjour gg0

Pour la 4b c'est bon

Par contre pour la 5 je ne vois toujours pas comment faire ... Je trouve lim [xe(^1/x) - xe(^-1/x)] / 2

[PlaneteF]

Bonjour,

Par contre pour la 5 je ne vois toujours pas comment faire ... Je trouve lim [xe(^1/x) - xe(^-1/x)] / 2

En posant , il vient :


Je te laisse le soin de conclure.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Casillas38]

Je ne comprend pas du tout d'ou sort cette expression ? C'est le taux d'accroissement ?

[PlaneteF]

Je ne comprend pas du tout d'ou sort cette expression ? C'est le taux d'accroissement ?

"Cette expression" comme tu le dis, je présume que tu parles de celle la plus à droite, ... Elle vient d'où ? ... Et bien elle vient des deux expressions qui lui sont égales plus à gauche ...

Je ne vois pas ce que l'on peut répondre de plus à ta question ?!

Cdt

[Casillas38]

Euuh d'accord, je pense avoir compris .. Mais je ne vois pas en quoi ça me sert pour la suite :s

[PlaneteF]

Euuh d'accord, je pense avoir compris .. Mais je ne vois pas en quoi ça me sert pour la suite :s

Et ben gg0 te l'a déjà dit dans son message#2 dont je cite une partie ci-dessous :

5 : On peut faire (ce que tu suggères ?) un changement de variable, en prenant t=1/x et on tombe sur une formule de première, celle de la dérivée (en 0).

Cdt

[Casillas38]

Je trouve le même résultat que précédemment càd [xe(^1/x) - xe(^-1/x)] / 2

Donc je n'ai toujours pas compris...

[gg0]

Manifestement,

tu ne suis pas ce qu'on te dit. A quoi sert de remplacer le sh par sa définition puis de revenir à x, alors que tu as une limite à calculer. Que se passe-t-il pour t quand x tend vers +oo ? Donc la limite que tu cherches est ...

Rappelle-toi que quand on te donne une indication, c'est pour répondre à la question, pas pour te faire faire des calculs inutiles.

Cordialement.

[Casillas38]

Je pense avoir compris

lim 1/x = 0

Et lorsque l'on développe l'expression on trouve lim [e^(1/x) - e(^(-1/x)] / 1/x = 0


C'est bien ça ?

[gg0]

Mais pourquoi reviens-tu sans arrêt à ton inutile [e^(1/x) - e(^(-1/x)] / 1/x ?

Tant que tu en resteras sur ton idée bizarre, tu feras n'importe quoi. par exemple ici oublier le 2 !!

Bon, inutile d'essayer de t'aider, tu es bloqué sur une idée fixe.

[PlaneteF]

Casillas38,

L'expression en passant à la limite doit te faire penser à la définition de la dérivée d'une fonction en un point donné, en l'occurrence à la dérivée de la fonction [...] au point [...]

A toi de conclure --> Se fait en 1 ligne et 10 secondes


Cordialement

[topmath]

Bonjour:

Salut PlaneteF , gg0 vous avez fais de votre mieux pour l’explication , maintenant un peut d’effort pour Casillas38 .

cordialement

[Casillas38]

Je pense avoir enfin compris..

On a lim sh(t) - sh(0) / t-0 qui correspond à la dérivée de la fonction sh(x) en 0.
x-->0

Or sh'(x) = ch

Donc : lim(lorsque x-->+oo) x.sh(1/x) = lim(lorsque x-->0) [e^x + e^-x] /2 = 1


J'espère ne pas m'être trompé cette fois

[PlaneteF]

sh(t) - sh(0) / t-0

Il manque des parenthèses, l'expression que tu viens d'écrire est :

Cdt

[Casillas38]

Oui c'est vrai


Bon merci pour votre aide en tout cas