Dérivée n-ième d'une fonction

[YellowVices83]

Voici mon énoncé : Soit la fonction f : x-> 1/x définie pour x=/ 0
1) Calculer f'(x), f''(x), f'''(x) et f''''(x)
2) Conjecturer une formule donnant fn(x), dérivée n-ième de f où n est un entier naturel non nul.
3) Démontrer par récurrence votre conjecture.

1) J'ai trouvé les 4 dérivées.
2) La formule semble être : (n!*(-1)^n)/x^n+1
3) J'ai réussi la première étape de la récurrence au rang n=1 (puisque n est un entier naturel non nul.), puis pour le rang (n+1), j'ai dit que fn+1(x)= (fn(x))' et à la fin, je devrai obtenir fn+1(x)=((n+1)!*(-1)^n+1)/x^n+2.
J'ai donc dérivé fn(x) mais je suis bloqué à cette forme : (n!*(-n)-n!*(n+1)x+((-1)^n)*(n+1)x^n)/x^n+2
Et je ne sais pas du tout comment arriver à la forme mentionnée deux lignes au-dessus.
Merci d'avance pour votre aide.
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Au premier coup d’œil je me suis dit "ça, ... ça sent une fois de plus des manques de parenthèses à plein nez". Bingo !

2) La formule semble être : (n!*(-1)^n)/x^n+1

Par exemple, là tu viens d'écrire :


Rappel : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[YellowVices83]

Oui en effet, la formule est (n!*(-1)^n)/(x^n+1), j'ai oublié deux parenthèses.

[PlaneteF]

Oui en effet, la formule est (n!*(-1)^n)/(x^n+1), j'ai oublié deux parenthèses.

Maintenant cela veut dire :



Same player shoot again!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est encore faux. Pour n=1, le dénominateur n'est pas x²+1.

Cordialement.

Désolé PlaneteF, je n'ai pas pu résister

[PlaneteF]

Désolé PlaneteF, je n'ai pas pu résister

Je n'aurais pas pu résister non plus

[YellowVices83]

Bon sérieux les gars, je sais que c'est un manque de rigueur, mais je n'ai absolument pas l'habitude d'écrire ce genre de truc sur un clavier d'ordi, alors comme nous savons très bien de quoi il s'agit, aidez-moi à résoudre mon problème au lieu de tergiverser sur un truc sans intérêt car je ne rendrai pas cet exo sur ordinateur.
Cordialement.

[PlaneteF]

... au lieu de tergiverser sur un truc sans intérêt ...

... On pourrait en débattre longuement en d'autres lieux, sache simplement que je pense l'exact opposé de ce que tu écris là et que selon moi tu te trompes lourdement, ... mais alors très lourdement !

Cordialement

[YellowVices83]

(n!*(-1)^n)/(x^(n+1)) voilà je pense que tu avais compris.

[PlaneteF]

(...) voilà je pense que tu avais compris.

J'avais compris, mais en m'obligeant à faire un effort de 15 secondes que je n'ai pas à faire, ... sur d'autres énoncés les fantaisies d'écriture c'est 30 secondes d'effort, sur d'autres c'est 1 minute, sur d'autres c'est carrément 5 minutes complètement inutiles ... et je ne compte pas le nombre de cas où l'énoncé est tout simplement indéchiffrable. Si chacun se pointe avec ses propres écritures en disant "je m'en tape ils se débrouilleront bien pour comprendre pas eux-mêmes", il y a 7 milliards de personnes sur cette planète on est mal barré , ... et je ne compte pas les extra-terrestres dans tout ça !

Cordialement

[YellowVices83]

Du coup pour la résolution de la récurrence?

[PlaneteF]

Du coup pour la résolution de la récurrence?

Ben du coup, gg0 qui d'ordinaire répond plus vite que son ombre, ben il s'est barré ! ... Quant à moi, ben je commence seulement à prendre connaissance de ton message maintenant que l'on parle enfin avec le même langage (résultat des courses = 1 heure de perdu ! CQFD)

Cdt

[PlaneteF]

J'ai donc dérivé fn(x) mais je suis bloqué à cette forme : (n!*(-n)-n!*(n+1)x+((-1)^n)*(n+1)x^n)/x^n+2

.. Je ne comprends pas ton bricolage, ... c'est beaucoup plus simple que ça :



A partir de là est une constante, reste plus qu'à dériver et tu tombes bien sur le bon résultat.


Cdt

[gg0]

En écrivant
c'est encore plus simple !

Cordialement.

[YellowVices83]

Je n'y avais pas pensé. Merci beaucoup, je vais de ce pas essayer!

[YellowVices83]

J'obtiens (n!*(-1)^n*(-(n+1)x^n)/x^(2*n+2). Comment réduire cette forme?

[gg0]

Ben ... simplifier les puissances de x. C'est du très classique, non ? et regarder si tu obtiens bien le résultat attendu (signe, factorielle)

Cordialement.

[YellowVices83]

J'ai simplifié les x et j'obtiens : (n!*(-1)^n*(-(n+1)x)/x^(-n+2). Je ne sais pas du tout comment réduire le numérateur pour obtenir (n+1)!*(-1)^(n+1). Et le dénominateur ne correspond pas au résultat attendu (problème de signe).
Cordialement.

[gg0]

" pour obtenir (n+1)!*(-1)^(n+1)" : Il suffit de regarder le rapport entre (n+1)! et n! (regarde pour n=3 ou 4) et entre (-1)^n et (-1)^(n+1). Tu ne vas pas au bout de la réflexion, tu ne cherches pas à trouver toi-même, tu attends trop qu'on t'explique ...
Pour le dénominateur, ton problème de signe est une énorme erreur de calcul. Si n=5, par exemple), tu avais x^5 en haut et x^12 en bas. Après simplification (totale, toi il reste un x en haut !!) il te restera en bas ...

Voilà, tout ça c'est de la technique élémentaire avec les règles vues en collège sur les puissances et les fractions (plus la factorielle); tu devrais pourtant y arriver facilement.

Cordialement.

[PlaneteF]

J'obtiens (n!*(-1)^n*(-(n+1)x^n)/x^(2*n+2). Comment réduire cette forme?

Remarque :

Là tu utilises la formule

En fait quand gg0 proposait sous la forme , c'était dans l'idée d'utiliser la formule pour ,


Cdt