bonjour à tous, j'ai un petit problème pour mon dm de math pourriez vous m'aider s'il vous plaît merci d avance
soit x un entier. démontrer que si (x²-1) n'est pas un multiple de 4, alors x est pair
indication : examiner les congruences modulo 4 de x.......
mercii
Bonjour.
L'indication est pourtant claire : Modulo 4, combien peut valoir x ? que se passe-t-il alors pour x²-1 ?
Cordialement.
bonjour, x vaut 0 1 4 ? si jai bien compris ?
4 et 0 c'est la même chose, modulo 4. Pour avoir les principaux cas, tu peux prendre les restes de la division de x par 4.
Me trompé-je ou tu as mal compris la notion de congruence ? C'est pourtant simple : x=y[k] veut dire que x-y est divisible par k. En particulier, si x=qk+r avec 0<=r<k (r est le reste de la division entière de x par k) alors x=r[k]. Donc x=y[k] veut dire que x et y ont le même reste par division euclidienne par k. Ce qui fait qu'en examinant les restes, on a tous les cas possibles, modulo k.
Cordialement.
ah jai compris donc :
4 * 0 + 0 = 0
4 * 0 + 1 = 1
4 * 0 + 2 = 2
4 * 0 + 3 = 3
4 * 1 + 0 = 4
donc les restes donc 0,1, 2, 3 cest ça ? jai un peu de mal avec les congruences... merci beaucoup en tout cas
Eh oui !
Grande découverte : les restes possible en divisant par 4 sont 0, 1, 2 et 3, donc tout nombre est congru à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4. A retenir.
Donc dans chacun de ces cas, regarde à quoi est congru x²-1 modulo 4.
Cordialement.
Salut,
Plus directement, tu aurais pu étudier la contraposée de la proposition que l'on t'a donnée :
"Si x est impair, alors x^2 -1 est divisible par 4" dont la démonstration est quasi immédiate en posant x = 2k + 1 (k entier naturel)
l'énoncé dit que ce n'est pas un multiple de 4 donc ce n'est pas divisible par 4 ?
Oui, dire d'un nombre qu'il est multiple d'un entier k ou divisible par un entier k est équivalent.
Bien sûr, si tu t'y retrouves mieux avec l'expression "multiple de 4", tu peux remplacer "divisible" par "multiple" dans l'énoncé de la contraposée (qui est équivalent comme je l'ai dit plus haut).
Oui mais ce n'est pas un multiple 4 donc ce qui on a fait c'est faux non ?
Maîtrises-tu la notion de contraposée ?
Pas vraiment..
de fait, je trouve aussi la contraposée plus rapide.
si x impair alors x=2n+1 et x²-1=4n²+4n qui est multiple de 4
donc non B => non A, ce qui revient à A =>B
mais l'exercice est sur les congruences.
Oui,
Lea1616, tu ferais bien de faire l'exercice comme on te le propose. Tu dois avoir terminé, non ?
je ne comprend pas enfaite si ce nest pas un multiple de 4 je vois pas a quoi ca me sert de regarder les congruences de 4 et je ne vois pas comment grace à cela on peut demontrer que x est pair...
" regarder les congruences de 4" ???
Bon, si tu ne veux pas faire ton exercice, ne le fais pas ...
Et tu ne peux pas voir la fin de l'exercice puisque tu ne fais pas le début ...
En effet, j'ai précisé cette démarche juste en vue de compléter celle qui leur est demandée, pour montrer que ce n'est pas l'unique façon de raisonner (et pas la plus rapide à rédiger non plus) sur l'exercice.
Je pense même que vu que l'utilisation des congruences n'est qu'une indication, ton prof ne te pénaliserait pas si tu utilisais la contraposée. Mais c'est vrai qu'il s'attend plus à ce que tu utilises cet indice.
Un petit point vite fait sur la contraposée, car c'est un outil très utile pour des raisonnements de spé math :
Soit A et B deux propositions.
Soit P la proposition : "Si A, alors B" et Q la proposition "Si non B, alors non A". Alors, P et Q sont équivalentes.
Petit exemple :
Soit A la proposition "le triangle MNP est rectangle en N" et B la proposition " MP²= PN² + MN² ".
Tu es d'accord que la proposition " Si le triangle MNP est rectangle en N, alors MP²= PN² + MN² " est vraie.
Eh bien, la proposition B, qui est sa contraposée " Si MP² # PN² + MN² , alors le triangle MNP n'est pas rectangle en N " est équivalente à A et est aussi vraie.
4 est congru a 1 et 4k ou k€Z cest a dire tout les multiples de 4 non ?
ah d accord j ai beaucoup mieux compris avec la contraposée, ce qu on avait jamais fait en cours
"4 est congru a 1 " Modulo combien ?
"et 4k ou k€Z cest a dire tout les multiples de 4" 1 n'est pas un multiple de 4.
Tu ne fais toujours pas ton exercice ....
