Résoudre un système d'équation du 2e degré (ax²+bx+cy²+dy+e=0)

[invitebfe3f904]

Bonjour,

Après plusieurs dizaines d'heure, je ne parvient toujours pas à résoudre ce système d'équation :
- ax²+bx+cy²+dy+e=0
- fx²+gx+hy²+iy+j=0

Merci d'avance pour toute aide de votre part !
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[gg0]

Bonjour.

Si on ne sait rien sur les coefficients, il y a de très nombreux cas. Donc comme c'est ta question, c'est à toi de les traiter. En gros, ta question est trouver les intersections de deux courbes du genre conique, droite, point ou vide.

Mais si tu as une vraie question, circonstanciée, on pourra t'aider à avancer.

Cordialement.

[invitebfe3f904]

gg0 : Je souhaiterais connaître toutes les valeurs possibles pour x et y

[gg0]

Tu dois bien te douter que ça dépend des valeurs de a, b, c, ... et j.

Donc sauf si tu donnes une bonne raison de faire cet énorme travail, on ne va pas le faire pour toi. Car à priori, il n'a aucun intérêt. D'ailleurs, pourquoi n'y a-t-il pas de terme en xy ?

Par contre, si tu as des informations importantes sur ces valeurs, ça peut devenir assez simple.

Déjà une information : Pour a=b=c=d=0 et e non nul, il n'y a pas de solution. je te laisse traiter les autres cas ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfe3f904]

Bonjour.

Si on ne sait rien sur les coefficients, il y a de très nombreux cas. Donc comme c'est ta question, c'est à toi de les traiter. En gros, ta question est trouver les intersections de deux courbes du genre conique, droite, point ou vide.

Mais si tu as une vraie question, circonstanciée, on pourra t'aider à avancer.

Cordialement.

Oui tu as raison, il y a de très nombreux cas et moi je demande une méthode pour tous les cas. C'est à dire une méthode qui fonctionne quelles que soient les valeurs des coefficients. Il faudrait donc une méthode qui fonctionne dans le cas où aucun coefficient n'est égal à 0, que dans chaque équation tous les coefficients sont différents et que a ≠ f, b ≠g, c ≠ h, d ≠ i et e ≠ j. La méthode pour résoudre ce cas fonctionne également pour tous les autres cas aussi (logique). Pour information la formule de Viette fonctionne toujours si b et c sont égal à 0, comme pour l'équation : ax² = 9. Le seul cas où la formule de Viette ne peut pas être utilisé (bien qu'elle fonctionne) est si a est égal à 0, car dans ce cas elle donne recours à une division par zero (faites le test).

[gg0]

Désolé,

je ne sais pas de quoi tu parles.

[invitebfe3f904]

Tu dois bien te douter que ça dépend des valeurs de a, b, c, ... et j.

Donc sauf si tu donnes une bonne raison de faire cet énorme travail, on ne va pas le faire pour toi. Car à priori, il n'a aucun intérêt. D'ailleurs, pourquoi n'y a-t-il pas de terme en xy ?

Par contre, si tu as des informations importantes sur ces valeurs, ça peut devenir assez simple.

Déjà une information : Pour a=b=c=d=0 et e non nul, il n'y a pas de solution. je te laisse traiter les autres cas ...

En effet c'est un énorme travail, mais il a son intérêt !!! C'est une équation passionnante ! C'est exactement le genre d'exercice que faisait Einstein !!! Après c'est vrai si je veux vraiment trouver la réponse ce serait normalement à moi de chercher, mais cela fait dizaines d'heure que j'essaie de résoudre cette équation et je n'y parvient pas . J'ai tout essayé... C'est le problème le plus difficile que j'ai jamais fait de ma vie ! C'est la 1ère fois qu'un problème me résiste autant Voilà pourquoi je suis venu poster sur le forum, pour donner ma langue au chat... Mais enfin de compte c'est trop. Je vais juste demander si vous avez une petite idée de comment s'y prendre, indice et sachant que n'y suis pas parvenu avec cette formule : (a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² +2ab + 2ac + 2ad +2bc + 2bd + 2cd. Je vous tiens au courant de mes avancés.

[gg0]

C'est exactement le genre d'exercice que faisait Einstein !!!

Ça m'étonnerait ! Il ne s'amusait pas à ce genre de petit problème, il avait mieux à faire. Et s'occupait de maths seulement quand il en avait besoin pour la physique.

Ce problème n'offre pas tant de résistance que ça, si les coefficients du second degré sont tous nuls, c'est du niveau seconde, si a=c=0, du niveau première scientifique. Pour le cas où les coefficients du second degré sont non nuls, c'est plutôt du niveau du supérieur (formes quadratiques).

C'est la 1ère fois qu'un problème me résiste autant

C'est que tu n'as pas encore traité des questions difficiles; ça viendra.

Cordialement.

[invitebfe3f904]

si les coefficients du second degré sont tous nuls, c'est du niveau seconde, si a=c=0, du niveau première scientifique.

Mais c'est justement pas le cas ! J'ai dit précédemment :

Il faudrait donc une méthode qui fonctionne dans le cas où aucun coefficient n'est égal à 0

Et c'est ce qui fait toute la difficulté de l'équation ! Et c'est bon je l'ai quasi-résolu, il ne reste plus qu'à résoudre une équation de 4e degré, ce qui est assez enfantin. Cependant étant donné que je n'ai pas beaucoup de temps je le ferai dans un ou deux jours... Je vous tiendrai au courant.

@+

[invitebfe3f904]

J'ai reformulé l'équation :
- ax²+bx+cy²+dy+e=0
- fx²+gx+hy²+iy+j=0
- a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0, e ≠ 0, f ≠ 0, g ≠ 0, h ≠ 0, i ≠ 0, j ≠ 0
- a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e
- f ≠ g ≠ h ≠ i ≠ j
- a ≠ f, b ≠ g, c ≠ h, d ≠ i, e ≠ j

x = (? ; ?)
y = (? ; ?)

[invite4bf147f6]

Bonjour,

ax²+bx+cy²+dy+e=0 (*)
a(x+b/2a)²-b²/4a+c(y+d/2c)²-d²/4c+e=0

(*) peut etre reecrite en a'(x-x0)²+b'(y-y0)²=c'

donc x= x0 (+ ou -) racine de (c'-(y-y0)²)/a'
on injecte dans la seconde equation.

[gg0]

Mickan :

* racine de (c'-(y-y0)²) existe-t-il ? en tout cas pas si c'<0
* "on injecte .." oui, et alors ?

N'importe comment, il est fréquent qu'il n'y ait pas de solution.

[inviteea028771]

Il peut d'ailleurs y avoir 0, 1, 2, 3, 4 solutions ou une infinité.

[invite4bf147f6]

Mickan :

* racine de (c'-(y-y0)²) existe-t-il ? en tout cas pas si c'<0
* "on injecte .." oui, et alors ?

N'importe comment, il est fréquent qu'il n'y ait pas de solution.

Il ne me semble pas étonnant si les solutions sont complexe donc la racine existe
en injectant on fait apparaître une equation de degre 4 dans le cas general, dont il existe des méthodes de résolution.

[invitebfe3f904]

Bonjour,

ax²+bx+cy²+dy+e=0 (*)
a(x+b/2a)²-b²/4a+c(y+d/2c)²-d²/4c+e=0

(*) peut etre reecrite en a'(x-x0)²+b'(y-y0)²=c'

donc x= x0 (+ ou -) racine de (c'-(y-y0)²)/a'
on injecte dans la seconde equation.

Franchement j'ai du mal à comprendre tes explications, je ne les trouve pas claires ou du moins pas pour moi :
- c'est quoi "x0" ? x^0 ?
- pourquoi tu mets une "*" plutôt que de récrire l'équation ???
- c'est quoi cette apostrophe que tu mets sur les lettres (a', b', c') ? a^1, b^1 et c^1 ?
Au final tu n'aurais pas voulu écrire :

[invite4bf147f6]

A partir de
a(x+b/2a)²-b²/4a+c(y+d/2c)²-d²/4c+e=0

posons x₀=-b/(2a)
y₀=-d/(2c)
e₀=-e+b²/(4a)+d²/(4c)


alors a(x+b/2a)²-b²/4a+c(y+d/2c)²-d²/4c+e=0 est équivalente à a(x-x₀)²+c(y-y₀)²=e₀

Ensuite une racine carrée permet d'avoir x en fonction de y + les coefficients de l'équation


Injection dans fx²+gx+hy²+iy+j=0