Equation d'un plan (exercice matrices TES)

[jackie788]

Bonjour à tous !

Je voulais juste être sûre de mes calculs, si vous pouviez me corriger en cas d'erreur ...

Voici l'énoncé :

On considère le plan P d'équation ax + bx + cz = 16
On sait que les points A (1 ; - 1 ; 0) , B (2 ; 2; 0) , C (3 ; 0 ; 4) appartiennent au plan P.

1) Ecrire un système (S) en utilisant les coordonnées des points A ; B ; C d'inconnues a, b et c.
2) Résoudre ce système à l'aide du calcul matriciel
3) En déduire l'équation du plan P
4) Le point D (1 ; 2 ; -2) appartient-il au plan P ?

Voici ce que j'ai calculé :

1) 1 - 1b + 0c = 16
2a - 2b + 0c = 16
3a + 0b + 4c = 16 (je me demande justement si les 3 équations sont égales à 16)

<=> a - b = 16
2a + 2b = 16
3a + 4c = 16

2) AX = B avec
A = ( 1 - 1 0 ) , X = ( a ) et B = ( 16 )
( 2 2 0 ) ( b ) ( 16 )
( 3 0 4 ) ( c ) ( 16 )

D'où : X = A^-1 * B
D'après la calculatrice,
X = ( 12 ) => a
( -4 ) => b
( -5 ) => c

3) Donc, ici, l'équation du plan P est : 12x - 4y - 5z = 16

4) Un point appartient à un plan lorsque ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
Le plan P a pour équation : 12x - 4y - 5z = 16 et le point D a pour coordonnées ( 1 ; 2 ; -2).
On remplace donc x par 1 ; y par 2 et z par -2 dans l'égalité et on vérifie si elle est vraie ou fausse.

On a :

12 * 1 - 4 * 2 − 5 * (-2)
= 12 - 8 + 10
= 22 - 8
= 14
=/= 16
Donc le point D n'appartient pas au plan P.


Le raisonnement est-il juste ?
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[jackie788]

désolée je ne sais pas comment faire de matrices sur ce forum alors les parenthèses tendent à se déplacer ...

[untruc]

mouais.

en 2) tu simplifies le truc pour obtenir un système simple. d'equaitons en a , b et c. Ce système se résout à la main. Je veux dire les 2 premières équations
a-b=16,
a+b=16/2=8
te donnent directement a et b.
c est donnée en fonction de a dans la 3ieme équation

en 3) tu oublies ce que tu as fait en 1, et tu réécris le problème sous forme matricielle, et tu calcules l’inverse à la calculette (d'ailleurs sais tu inverser une matrice 3x3 à la main?)
Si c'est admis, et usuel de faire de tels raisonnement avec ton prof, alors pas de problèmes. Mais tu peux facilement vérifier que les résultats rendus par la calculette vérifient le système trouvé en 2.
Sinon, il est du programme du bac, d'inverser des matrices 2x2, et les 2 premières équations te donnent un système AX=B de dimension 2.

[jackie788]

je ne vois pas trop où vous voulez en venir mais nous avons fait des calculs similaires avec d'autres exercices en classe
merci quand même

[A voir en vidéo sur Futura]

[untruc]

je ne vois pas trop où vous voulez en venir mais nous avons fait des calculs similaires avec d'autres exercices en classe
merci quand même

Je prends note que certains, inversent des matrices 3x3 à la calculatrice en terminale, sans meme savoir comment calculer le déterminant d'une matrice 3x3.

En tout cas, la ou je veux en venir est ecris plus haut: "tu peux facilement vérifier que les résultats rendus par la calculette vérifient le système trouvé en 2."

Ta force en math, viendra du fait que tu seras capable de retrouver un résultat de différentes manières possibles. Et donc de pouvoir le vérifier tout seul. C'est ce qui différencie les chenilles (qui suivent les méthodes sans voir plus loin que leur nez), des sauterelles (qui changent de point de vue très vite)

[jackie788]

le calcul du déterminant pour une matrice de cette dimension n'est plus au programme (pour la section économique en tout cas) bien que j'aie vu par mes propres moyens comment calculer une matrice 2x2. On n'a appris à calculer une matrice inverse uniquement par résolution de systèmes à vrai dire, méthode assez longue et inutile si la consigne ne mentionne pas de calculer à la main.

(et personnellement, j'aime beaucoup les maths mais c'est assez regrettable qu'on ne nous explique jamais quels sont les intérêts des chapitres, on calcule un tas de choses abstraites sans savoir pourquoi, voilà pourquoi certains dont moi se
contentent de respecter les instructions d'un prof)

[untruc]

dans ce cas je pense que par "calcul matriciel", il attend que tu résous le système a+b=16, 2a-2b=16 en traduisant cela en matrice. et en inversant la matrice 2x2, qui se fait sans difficulté. Résultat à retenir de toute façon.
Mais tu verras bien quand il rendra la correction.

Normalement, les maths servent comme application de Quelque chose. J'ai cru lire qu'ils font des TP sur les applications des maths en Terminale. Mais en même temps, ce que tu fais est si élémentaire ie du pré-calcul, que les exemples risquent souvent d’être basiques, voire trivials. Pire encore, les préparer demande un effort de la part du prof, qu est plus important que tu ne crois.
Va faloir patienter, et atteindre un niveau plus avancé.