Suite et exponentielle

[inviteacc91806]

Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème..

Voici l'énoncé :

On considère la suite définie par Uo = -2 et Un+1 = e^(x-1) - x

1) Etudier les variations de la fonction g définie sur R par : g(x) = e^(x-1) - x
2) En déduire que e^(x-1) >> x pour tout x appartenant à R
3) Démontrer que Un<<1 pour tout n>>0
4) Démontrer que la suite (Un) est croissante
5) En déduire que (Un) converge et déterminer sa limite

Pour la 1) je calcule la dérivée g'(x) et je trouve que g est décroissante sur ]-oo ; 1[ et croissante sur ]1 ; +oo[

Pour la 2) j'ai dit que d'après le tableau de variations de g, la fonction g est toujours supérieur à 0.
Ainsi e^(x-1) - x >> 0 et donc e^(x-1) >> x

Par contre pour la 3) j'ai essayer de faire une récurrence mais je n'y arrive pas...


Pourriez vous m'aidez ?


Merci d'avance !
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[gg0]

Bonsoir.

"la suite définie par Uo = -2 et Un+1 = e^(x-1) - x" ??? La suite est constante et dépend d'un x inconnu ?

[inviteacc91806]

Oups je me suis trompée dans l'énoncé... le "-x" n'existe pas

[PlaneteF]

Bonsoir,

Oups je me suis trompée dans l'énoncé... le "-x" n'existe pas

El le "e^(x-1)" tu en fais quoi

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteacc91806]

Ah mince je n'avais pas vu que j'etais trompé ici aussi :

C'est Un+1 = e^(Un-1)

[PlaneteF]

Pour la 2) j'ai dit que d'après le tableau de variations de g, la fonction g est toujours supérieur à 0.

Je ne connais pas le niveau de formalisme qu'il t'est demandé dans la rédaction des démonstrations, mais en toute rigueur une justification du type "ça se voit sur le tableau de variation" ne constitue pas une démonstration formellement forte.

Cdt

[gg0]

Pour la question 3,

tu as tout ce qu'il te faut pour la récurrence, puisque Un-1<0 et tu connais les variations de la fonction exponentielle.

Cordialement.

[inviteacc91806]

Je pense qu'il fallait utiliser le tableau de variation, puisque on nous demande "en déduire"

[PlaneteF]

Je pense qu'il fallait utiliser le tableau de variation, puisque on nous demande "en déduire"

Tu dois "en déduire" à partir de l'étude de variation de la fonction, pas d'une observation visuelle du tableau de variation (ce n'est pas la même chose).

Cdt

[inviteacc91806]

ggo je ne voit vraiment pas comment faire pour la récurrence...

Il faut vérifier que la propriété est vraie au rang suivant donc pour Un+1 mais je ne vois pas comment passer de Un à Un+1

[PlaneteF]

(...) mais je ne vois pas comment passer de Un à Un+1

Cdt

[inviteacc91806]

Donc Un = e^(Un-2) ?

[PlaneteF]

Donc Un = e^(Un-2) ?

Ben non, jamais de la vie ... On a :

Mais de toute manière, là n'est pas la question.

Cdt

[inviteacc91806]

Pour faire l'hérédité, il faut que je passe de Un à Un+1

On suppose la propriété vraie au rang initial, donc :

Un <= 1

Et la je ne vois pas comment passer à Un+1

[PlaneteF]

Un <= 1

Tu en déduis donc que :

Et là tu utilises le même type d'argument que ce que j'insinuais dans la question précédente (où je te le disais, que pour faire une vraie démonstration on ne peut pas avancer un argument "visuel"), ... et ici il s'agit de remarquer que la fonction exponentielle est strictement croissante. La conclusion est alors immédiate.

Cdt