Bonsoir, j'ai un exercice que j'ai commencé à faire mais je n'arrive pas à le continuer. Pourriez-vous m'aider svp? Merci d'avance.
A. Pour tout x réel>0, on pose
f(x)=x-1-ln(x)
où la notation ln(x) désigne le logarithme népérien de x.
De l'étude de f, déduire que pour tout x>0, on a l'égalité ln(x)<=x-1.
J'ai réussi à le faire en dérivant la fonction et avec le tableau de variation j'en ai déduis l'inégalité.
B. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On donne n nombres réels strictement positifs a1;a2;...;an et on pose u= 1/n(a1+a2+...+an) ; v=rac(a1a2...an) et n/w=1/(a1) + 1/(a2) +...+ 1/(an) les nombres u,v et w sont respectivement les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique des n nombres a1, a2, an.
1.a). en appliquant l'inégalité (1) successivement pour x= a1/u x=a2/u x=an/u et en combinant les n inégalités obtenues, montrer que v<=u.
j'ai réussi à le montrer. Je n'arrive pas à faire la suite.
b). Dans quel cas a-t-on w=v?
2a) En remplaçant dans (2) les n nombres a1, a2, an par leurs inverses prouver que v<=u
b) Dans quel cas a-t-on w=v?
Merci de votre aide
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