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Démonstration théorème d'Al-Kashi



  1. #1
    ysis81

    Démonstration théorème d'Al-Kashi


    ------

    Bonsoir,

    je me penche sur la démonstration du théorème d'Al-Kashi via la méthode du découpage d'aires.

    Je ne comprends pas pourquoi sur la figure suivante :

    330px-Law_of_cosines_with_acute_angles.svg.png

    les 2 surfaces totales sont égales.

    Il est mentionné que l'on découpe un heptagone de deux manières différentes mais visuellement, je n'arrive pas à obtenir l'égalité.

    Si quelqu'un pouvait me détailler les 2 manières employées.

    Merci par avance

    -----

  2. #2
    joel_5632

    Re : Démonstration théorème d'Al-Kashi

    bonjour

    Il y a égalité des aires par définition puisqu'on part d'un unique heptagone et qu'on le découpe de 2 façons différentes.

    Il faut montrer que les triangles bleus, gris et gris clair sont bien les mêmes des 2 cotés. Comme c'est le cas on en déduit que la somme des aires des 2 carrés rose à gauche est égale à la somme des aires des figures rose et rose pale à droite.

    a²+b² = c²+ab.cos(gamma) + ab.cos(gamma)
    c² = a²+b² -2ab.cos(gamma) Théorème d'Ak-khashi = théorème de Pythagore généralisé

  3. #3
    godzylla

    Re : Démonstration théorème d'Al-Kashi

    surement que si ça marche avec un parallélogramme
    a et b ses longueurs
    A = a × b × sin(θ).



    cela fonctionne aussi pour trouver le troisieme coté d'un triangle ABC lorsque nous savons les deux autre AB et AC et que savons encore en plus un angle θ donc tu peut trouver BC.

    BC² = AB² + AC² -2*AB*AC*cos θ

    cos θ est aussi un rapport ( une division) entre deux longueurs a connaitre par cœur avant d'avoir le bac et des connaissance en dérivés.
    l'Etat est toi

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