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Intégration calcul de la surface d'un disque



  1. #1
    rfournier

    Intégration calcul de la surface d'un disque


    ------

    Bonjour,

    Je suis un élève de seconde. Aimant beaucoup les mathématiques, je voulais déterminer comment prouver la formule de l'aire d'un disque A=
    Je comptais intégrer tout d'abord l'aire d'un quart de cercle en faisant varier l'angle dans le sens trigonométrique et j'ai donc paramétré
    Cependant, je pense avoir fait une erreur de signe dans mon calcul, j'aimerais donc savoir si car et
    Ce calcul est-il correct ? Je vous remercie d'avance

    -----

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  3. #2
    minushabens

    Re : intégration calcul de la surface d'un disque

    Salut,

    c'est un peu plus compliqué que ça, puisque c'est une intégrale double que tu veux calculer. Le changement de variable concerne le couple. Et le point important ici c'est les bornes d'intégration.

  4. #3
    Dynamix

    Re : intégration calcul de la surface d'un disque

    Salut
    Comme dit minushabens , il faut intégrer un élément de surface .
    Soit dx.dy
    soit r.dr.dθ (le plus facile)

  5. #4
    rfournier

    Re : intégration calcul de la surface d'un disque

    D'accord, merci beaucoup à vous deux! Je pensais qu'il était possible de calculer par l'intermédiaire d'une intégrale simple en essayant de sortir le r du radical en factorisant l'edpression sous la racine par r^2

  6. #5
    joel_5632

    Re : intégration calcul de la surface d'un disque

    bonjour

    On peux sommer les aires des couronnes (anneaux) de rayon r, de circonférence 2pi.r et d'épaisseur dr. L'aire élémentaire d'une telle couronne est dS = 2.pi.r.dr

    Ce qui donne:



    Il y a une autre méthode que je trouve amusante. On coupe le disque le long d'un rayon et on écarte les 2 bords de chaque coté de la coupe jusqu'à obtenir un triangle isocèle de base 2.pi.R et de hauteur R. La transformation conserve l'aire. Donc Aire = 1/2 * base * hauteur = 1/2 * 2.pi.R * R = pi.R²

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Dynamix

    Re : intégration calcul de la surface d'un disque

    Citation Envoyé par joel_5632 Voir le message
    On peux sommer les aires des couronnes (anneaux) de rayon r, de circonférence 2pi.r et d'épaisseur dr.
    Ce qui revient au même que faire la somme de r.dr.dθ en commençant par

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