Suite avec ln TS

[invite117c9d6b]

Bonjour voici l'énoncé de mon exercice :
on a Uo=2
ln(Un+1)=1+ln(Un)

Questions:
1)exprimer un+1 en fonction de un et donner la nature de la suite (Un)
2)donner la somme uk (de k=0 a n) en fonction de n
3)donner la somme ln(uk)( de k=0 a n) en fonction de n
4)en déduire le calcul du produit de uk(de k=0 a n) en fonction de n

voici mes réponse pour les question 1)et 2):
1)ln(un+1)=1+ln(un)
ln(un+1)=ln(e)+ln(un)
ln(un+1)=ln(e*un)
un+1=e*un
La suite est donc géométrique de raison q=e

2)somme uk (de k=0 a n)=u0*(1-exp(n+1))/ (1-exp(1))

ensuite je suis bloquée pour les questions suivantes
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[invite51d17075]

une somme de termes en ln = ln( produit des termes)
et tu peux écrire Un en fct de U0
et donc le produit des Uk

[invite117c9d6b]

mais quelle est la formule generale du produit des termes pour une suite geométrique ?

[invite51d17075]

il suffit de faire le calcul et d'utiliser les propriétés de
U0=2
U1=2e
U2=2e²
le produit est
et on sait que
donc tu te retrouves avec
et cette somme est calculable.
et =

en espérant ne pas avoir fait de faute de frappe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Une autre façon de voir :

Si l'on pose , il est évident que la suite est une suite arithmétique de raison et de premier terme

Du coup la somme des premiers termes consécutifs de cette suite est très facile à déterminer (il y a une formule connue pour cela), ...

D'où la réponse immédiate à la question 3)


Cordialement

[PlaneteF]

Une autre façon de voir :

D'ailleurs on peut remarquer que compte tenu de la question 4), c'est plutôt cette façon de procéder qui est attendue par l'énoncé.

Cdt

[invite51d17075]

exact, pas vu la question 4
en fait je passais indirectement par la 4 pour résoudre la 3.

[invite117c9d6b]

donc 3) somme ln(uk)( de k=0 a n) =(n+1)((ln(2)+ln(2)+n)/2) est ce correcte ?

[invite51d17075]

non,
quelle est la somme de 1+2+3+......+n ?

[PlaneteF]

donc 3) somme ln(uk)( de k=0 a n) =(n+1)((ln(2)+ln(2)+n)/2) est ce correcte ?

Tu ne vas quand même pas laisser comme ça ?!

Sinon ton résultat est correct.

Cdt

[invite117c9d6b]

la somme de 1+2+3+......+n =n(n+1)/2

[PlaneteF]

la somme de 1+2+3+......+n =n(n+1)/2

Tu n'en as pas besoin ici. Regarde mon message#10.

Cdt

[invite117c9d6b]

alors ln(2)+ln(2)=ln(4)
donc s je remplac dans ce que j'ai fait cela m donne (n+1)((ln(4)+n)/2)

[PlaneteF]

Oui c'est bien cela.

Cdt

[invite117c9d6b]

maintenant puisque ln(a)+ln(b) =ln(a*b) on peut dire que le produit de uk(de k=0 a n) en fonction de n st egale a exp(la somme ln(uk)( de k=0 a n) en fonction de n) ?

[PlaneteF]

maintenant puisque ln(a)+ln(b) =ln(a*b) on peut dire que le produit de uk(de k=0 a n) en fonction de n st egale a exp(la somme ln(uk)( de k=0 a n) en fonction de n) ?

Tout à fait !

Remarque : Maintenant si l'on veut être totalement rigoureux, il faut montrer par récurrence sur que




Cdt

[invite51d17075]

là vous reprenez ce que j'ai dit bien plus haut !
Cdt

[PlaneteF]

là vous reprenez ce que j'ai dit bien plus haut !

Pas tout à fait, ... car à aucun moment on a besoin de calculer explicitement le produit des

(c'est d'ailleurs là la "ruse" de passer par la suite arithmétique afin d'éviter ce calcul)

Cdt

[invite51d17075]

pas faux,
de fait, je suis directement passer à la 4 sans voir réellement la 3.
mais de fait le produit des revient naturellement à une somme arithmétique sur l'exponentielle.
c'est ce que j'ai voulu ( peut être maladroitement ) expliquer.