Dm : suite avec ln(x)

[invite5d34b26d]

Bonjour à toutes et à tous.

Je bloque dans un dm à partir de la question 3 . Si quelqu'un voulait bien m'aider, cela me permettrais d'achever ce Dm.

Voici l’énoncé :

On cherche une suite définie par son premier terme Uo et par la relation de récurrence U(n+1) = ln(U(n))

1) A quelle condition sur U(n), la suite est-elle définie ?
2.a) Démontrer que, pour tout réel x>0, on a ln(x)=<x-1.
b) En déduire que la suite (U(n)) est strictement décroissante.

3.a) Démontrer que pour tout entier naturel n, U(n)=<Uo - n
b) En déduire que, quelle que soit la valeur initiale de la suite, elle deviendra négative à partir d'un certain rang. Conclure sur l'existence de la suite.
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[PlaneteF]

3.a) Démontrer que pour tout entier naturel n, U(n)=<Uo - n

Tu utilises le résultat que tu as déjà démontré : ln x <= x-1

Donc en remplaçant x par U_n-1, tu obtient : U_n <= U_n-1 - 1

Et ainsi tu peux écrire cette inégalité pour tous les indices de 1 à n, soit :

U_n <= U_n-1 - 1
U_n-1 <= U_n-2 - 1
...
U₂ <= U₁ - 1
U₁ <= U₀ - 1

... et je te laisse poursuivre ...

[PlaneteF]

Tu utilises le résultat que tu as déjà démontré : ln x <= x-1

Donc en remplaçant x par U_n-1, tu obtient : U_n <= U_n-1 - 1

Et ainsi tu peux écrire cette inégalité pour tous les indices de 1 à n, soit :

U_n <= U_n-1 - 1
U_n-1 <= U_n-2 - 1
...
U₂ <= U₁ - 1
U₁ <= U₀ - 1

... et je te laisse poursuivre ...

Autre méthode, plus directe, tu peux démontrer U_n <= U₀ - n par récurrence.

L'inégalité est vraie au rang 0.

Tu supposes U_n <= U₀ - n et tu montres U_n+1 <= U₀ - (n+1), ... c'est quasi-immédiat en utilisant la propriété ln x <= x-1.

[invite5d34b26d]

Effectivement, j'avais, gratté que truc sur un brouillon dont Un <= Un-1 - 1 en remplacent x par Un-1 mais....
Je tente la récurrence...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d34b26d]

voici mon raisonnement :

Pn : Un<=Uo -n

Initialisation : Po est vrai car : Uo=<Uo -0 (les deux Uo s'annulent) et il reste : 0=<0
Hérédité : supposons que Pn soit vrai au rang n>0 càd Un=<Uo - n (hypothèse de récurrence) et démontrons quelle est vrai au rang n+1>0
Un=<Uo - n
Un-Uo=< -n

D'après la question 2.a), on a : ln(x)=<x-1 On remplace x par Un.
Ln(Un)=<Un -1
U(n+1)=<Un -1

Un-Uo=< -n Comme (Un) est décroissante, alors :
U(n+1)-Uo=<-n
<=> Un -1-Uo=< -n
<=> Un - Uo=<-(n+1)
<=>Un=<Uo-(n+1)

Conclusion : Pn est vrai pour tout rang n>o

C'est correct ? car, moi et la récurrence...

Je m'absente 1h00 (sport)

[PlaneteF]

Un-Uo=< -n Comme (Un) est décroissante, alors :
U(n+1)-Uo=<-n
<=> Un -1-Uo=< -n
<=> Un - Uo=<-(n+1)
<=>Un=<Uo-(n+1)

Conclusion : Pn est vrai pour tout rang n>o

Euh ... ce n'est pas très clair ton truc je ne vois pas pourquoi tu veux mettre le U₀ à gauche de l'inéquation ?

En fait il ne faut pas chercher midi à 14h :

U_n+1 = ln U_n (par définition)
avec ln U_n <= U_n - 1 (d'après la propriété 2a)
ce qui donne U_n+1 <= U_n - 1 [1]

et puisque U_n <= U₀ - n (hypothèse de récurrence)
U_n - 1 <= U₀ - n - 1 = U₀ - (n+1) [2]

et donc en regroupant [1] et [2] on obtient : U_n+1 <= U₀ - (n+1) (proposition vraie au rang n+1)

[invite5d34b26d]

Bonjour, oui, effectivement, je suis allé trop loin. Mais, j'ai compris la réponse !!!! merci.
Pour la question b) : lim (n-->-infini) : U0 - n= -infini
d'après la relation de récurrence : U(n+1)=ln(Un), Comme (Un) est décroissante et tend vers -infini, Un se rapprochera de 0 au bout de n rang. X remplace Un: lim ln(x)=-infini
x-->0
et ln(1)=0 D'après la théorème de la bijection, ln(x) admet une seule solution tel que f(c)=k. Donc, quand Un<1 alors U(n+1) sera négative.

Pour l'existence de suite :
d'après la question 1.A, (Un) existe si Un est strictement positive.
D'où, si U0>0 alors (Un) existe tant que U(n+1)>0
Un n'existe pas si U0=<0

C'est bien ça ??

[PlaneteF]

Pour la question b) : lim (n-->-infini) : U0 - n= -infini
d'après la relation de récurrence : U(n+1)=ln(Un), Comme (Un) est décroissante et tend vers -infini, Un se rapprochera de 0 au bout de n rang. X remplace Un: lim ln(x)=-infini
x-->0
et ln(1)=0 D'après la théorème de la bijection, ln(x) admet une seule solution tel que f(c)=k. Donc, quand Un<1 alors U(n+1) sera négative.

Pour l'existence de suite :
d'après la question 1.A, (Un) existe si Un est strictement positive.
D'où, si U0>0 alors (Un) existe tant que U(n+1)>0
Un n'existe pas si U0=<0

C'est bien ça ??

Je pense que tu te compliques la vie pour rien ... et du coup tu fais un raisonnement trop long et alambiqué selon moi ...

On te demande juste d'utiliser le résultat du 3a) ... peu importe vers quoi tend la suite à l'infini.

Puisque U_n <= U₀ - n, alors pour un U₀ fixé, la suite sera nécessairement négative au rang PartieEntière(U₀) +1, et puisqu'elle est décroissante elle sera négative pour tous les rangs suivants. C'est tout !

Exemple : Si U₀ = 3,7 la suite sera nécessairement négative au rang PartieEntière(3,7)+1=4 puisque d'après le résultat 3a) U <= U₀ - 4 = 3,7 - 4 = - 0,3 <= 0

[PlaneteF]

Puisque U_n <= U₀ - n, alors pour un U₀ fixé, la suite sera nécessairement négative au rang PartieEntière(U₀) +1, et puisqu'elle est décroissante elle sera négative pour tous les rangs suivants

... oups, RECTIFICATION, cette phrase en rouge est évidemment fausse, la suite n'est plus définie après ce rang !

[invite5d34b26d]

OK mais, D'où sort ce "partie entière"..... On ne le montre pas ??? Je ne voit pas comment on y arrive.

[PlaneteF]

OK mais, D'où sort ce "partie entière"..... On ne le montre pas ??? Je ne voit pas comment on y arrive.

On part de U_n <= U₀ - n

U₀ étant fixé, tu vois bien que plus n va augmenter plus (U₀ - n) va diminuer pour devenir négatif à un rang donné.

La question est donc : pour quel rang (U₀ - n) va t-il devenir négatif ? ...
Et bien pour n > U₀.

Donc le premier entier n tel que n > U₀ c'est bien E(U₀)+1, ... par ex. le premier entier n tel que n>17,4 c'est bien E(17,4)+1=18 !!!

Et donc pour ce rang k=E(U₀)+1, U_k <= U₀ - k < 0,

soit U_k < 0

[invite5d34b26d]

Bonjour,

merci beaucoup, j'ai compris maintenant.
Je vous remercie pour votre aide !!!

bonne journée,

Caiman64.