Identité de Bezout avec des puissances

[invitecb82f686]

Bonjour,

J'ai une question à laquelle je n'arrive pas à trouver de solutions, et donc je viens vers vous en espérant pouvoir avoir un peu d'aide. J'ai deux entiers relatifs a et b, par exemple. Ces deux entiers relatifs sont premiers entre eux. Maintenant, j'aimerais prouver que a^n et b sont aussi premiers entre eux.

J'ai pensé à l'identité de Bezout. Ce qui donne :


Mais comment passer à la puissance n pour démontrer ce que je veux ? Parce que si je fais :



Je vois pas très bien où on peut aller avec ça. Ca aurait été un carré, on aurait pu développer avec l'identité remarquable appropriée, mais là non. En clair, je vois pas bien comment faire pour démontrer cela.

Quelqu'un pourrait m'aider ?
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Si tu connais tu peux utiliser la formule du binôme de Newton : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...B4me_de_Newton

Sinon tu peux faire une démonstration par récurrence.

Cordialement

[invitecb82f686]

Justement, j'ai pensé à la récurrence. Mais le but est en gros de montrer que :



et non que :



étant donné que moi ce que je veux avoir à la fin c'est .

Et du coup je vois pas très bien comment faire avec la première expression. Déjà, je ne me fourvoie pas, il faut bien partir de cette expression-ci ?

[PlaneteF]

(...)



(...)

Déjà, je ne me fourvoie pas, il faut bien partir de cette expression-ci ?

Ben oui (sauf que tu avais mis dans ton énoncé, mais bon cela revient au même), ...

... et du coup la récurrence est simple à faire.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

et non que :

Et je rajoute, tu pars de cette expression si tu utilises la formule du binôme de Newton.

Cdt

[PlaneteF]

Du coup pour en revenir à la récurrence :

L'initialisation est évidente.

Ensuite pour l'hérédité, on a :

Soit

1) Par hypothèse donnée par l'énoncé :

2) Par hypothèse de récurrence :


Maintenant, à l'aide de 1) et 2), tu dois montrer que :


A toi de jouer

Cdt

[PlaneteF]

Et dans le cas de l'utilisation de la formule du binôme de Newton, utiliser :



ou




selon la forme de la formule du binôme de Newton que l'on choisit.


Cdt

[invitecb82f686]

D'accord, merci. Je vais essayer de le faire par récurrence tout d'abord (n'ayant pas vu en cours la formule du binôme de Newton), et je me pencherais sur ce cher binôme de Newton ensuite. Merci beaucoup PlaneteF.

[invitecb82f686]

Pour l'hérédité, voici ce que j'ai fais :

Supposons tel que est vraie, montrons que est vraie.

On sait que :

et on a un couple tel que , d'après l'hypothèse de récurrence

Donc on a :







Notons :




Donc on a bien :

, avec

En conséquent, est vraie.

Conclusion : Ainsi, , tel que .

Est-ce correct ? (j'ai passé l'initialisation, cette dernière étant quasi immédiate)

[PlaneteF]

Je n'ai pas vérifié le détail de ton calcul, mais sur le principe c'est bon.

Cdt

[PlaneteF]

Ensuite pour l'hérédité, on a :

Soit

Petite rectification de ce que j'avais écrit : En fait dans ton énoncé c'est pour .

Cdt

[invite7d8bc1d8]

Bonsoir,

Messieurs est ce qu'avec le théorème de Gauss cela ne serait-il pas beaucoup plus facile
de démontrer que a et bⁿ sont premiers entre eux sachant que a et b le sont?

cordialement

[gg0]

C'est évident,

mais l'enjeu était de le faire avec Bézout.

Cordialement.

[invitecb82f686]

Bonsoir,

Merci de vos réponses, qui m'ont par ailleurs beaucoup aidé. Enfin, imaginons que justement, j'aurais voulu montrer que et sont premiers entre eux lorsque et sont premiers entre eux, avec le théorème de Gauss. Comment aurait-il fallu procéder ?

En effet, je pars de ceci :




Mais je vois pas quoi faire pour appliquer ensuite le théorème de Gauss. J'ai l'impression que je pars dans la mauvaise direction.

Merci d'avance

[gg0]

Tu es reparti avec Bézout !

Si b divise a^n, alors ...

[invitecb82f686]

Je serais tentée de dire que si b/a^n alors il existe un entier relatif k tel que a^n=bk. Ensuite... j'ai toujours pas d'idée. oO J'ai pensé à dire que cela signifie que a*a*...*a (n fois) = bk, mais ça ne m'avance pas beaucoup. :/

[gg0]

Peux-tu rappeler le lemme de Gauss (théorème de Gauss) ?
Car j'ai l'impression que tu ne cherches pas à t'en servir.

[invitecb82f686]

Le lemme de Gauss affirme que si a, b et c sont des entiers, que a = bc et que a et b sont premiers entre eux, a divise c.

Mais j'ai toujours pas réussi à démontrer ça avec Gauss. J'ai trouvé ceci par contre :

On sait que

Et on cherche à démontrer que

Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un entier p premier tel que : p/a^n et p/b. Or, selon le lemme d'Euclide, p/a et p/b. Or a et b sont premiers entre eux. Mais alors et donc a^n et p sont premiers entre eux.

Je sais pas si ça marche, parce que j'ai des doutes sur ma supposition "il existe un entier p premier". En effet, s'il existait un entier n non premier qui divisait a et b, je n'aurais pas pu utiliser le lemme d'Euclide et donc en arriver à ma conclusion. Mais de l'autre côté, s'il existait un entier n non premier qui divisait a et b, alors on aurait pu décomposer n en facteurs de nombres premiers, donc aurait bien eu un nombre premier p qui divise n et donc qui divise a et b.
Après, on a pas encore vu la décomposition en facteurs premiers d'un nombre en cours, mais le raisonnement semble intuitif. Me tromperais-je ?

Quant à Gauss, j'ai essayé de partir de "si b/a^n alors..." mais à chaque fois je bloque. Même en partant du présupposé qu'il existe un entier n différent de 1 (ou -1) qui divise b et qui divise a^n, je ne trouve pas grand chose finalement. Et je veux pas abandonner cette démonstration, j'aimerais bien comprendre pourquoi je n'y arrive pas avec Gauss !

Merci de l'aide en tout cas !

[invite748a7e91]

Hypothèse : Si un nombre « a » divise bc et s’il est premier avec « b » alors il divise « c »

Puisque « a » et « b » sont premier entre eux, il existe 2 entiers relatifs « x » et « y » tels que :

ax + by = 1

Multiplions par un 3éme entier relatif « c » :

acx + bcy = c

« a » divise acx et aussi (voir hypothèse ci dessus) bc donc aussi bcy donc la somme « acx + bcy » donc « c ».

Supposons maintenant que « a » et « b » (qui sont premier entre eux) soient aussi premier avec « c », il existe alors "x", "y", "z", et "t" tels que :

ax + by = 1,

et

az + ct = 1

donc : (ax + by) (az + ct) = 1

Qu’on peut réarranger comme suit :

a(axz + byz + cxt) + bc . xt = 1

Il en découle que “a” et “bc” sont premier entre eux (théorème de Bachet) !

« a » et « b » étant premiers entre eux ; « a^n » et « b^m » sont donc premiers entre eux quelles que soient « n » et « m »…

Est-ce que ça vous aide ?

[gg0]

Bonjour Kindermaxi.

Il suffit de contraposer le lemme de Gauss. Pris sous la forme :
Soient a, b et c des entiers tels que a est premier avec b. " a divise bc (*)" implique "a divise c"
En contraposant :" a ne divise pas c" implique "a ne divise pas bc"
On construit facilement une preuve par récurrence sur n que si a est premier avec b, il est premier avec b^n.

Cordialement.

(*) et pas a=bc comme tu l'écrivais au message #18. Il est rare qu'un nombre divise un de ses diviseurs ... le seul cas serait b=1.

[invitecb82f686]

Merci gg0 de toutes ces explications, ainsi qu'à tous les autres qui ont pu m'aider.

[invite748a7e91]

A la suite du message #19 et pour répondre à la question posée en #1 : Un nombre premier avec chacun des nombres d'un ensemble fini est premier avec leur produit en l’occurrence, si "a" et "b" sont premier entre eux, alors "a" est premier avec b^m et par voie de conséquence ; lire la fin de #19...

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour compléter les méthodes proposées, j'avais évoqué au début du fil l'utilisation de la formule du binôme de Newton. Dans ce cas pas besoin de récurrence (d'une certaine manière la récurrence est déjà contenue dans la démonstration de la formule) et l'on a tout simplement et directement :








Cdt

[PlaneteF]

Argh, ... je n'ai pas mis le plus important --> Tout cela étant bien évidemment

[invitecb82f686]

Super PlaneteF, j'ai pas vu les binômes de Newton au lycée (je ne sais pas si on les verra, d'ailleurs), mais ça en fait un bel exemple !