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Identité de Bezout avec des puissances



  1. #1
    KINDERMAXI

    Identité de Bezout avec des puissances

    Bonjour,

    J'ai une question à laquelle je n'arrive pas à trouver de solutions, et donc je viens vers vous en espérant pouvoir avoir un peu d'aide. J'ai deux entiers relatifs a et b, par exemple. Ces deux entiers relatifs sont premiers entre eux. Maintenant, j'aimerais prouver que a^n et b sont aussi premiers entre eux.

    J'ai pensé à l'identité de Bezout. Ce qui donne :


    Mais comment passer à la puissance n pour démontrer ce que je veux ? Parce que si je fais :



    Je vois pas très bien où on peut aller avec ça. Ca aurait été un carré, on aurait pu développer avec l'identité remarquable appropriée, mais là non. En clair, je vois pas bien comment faire pour démontrer cela.

    Quelqu'un pourrait m'aider ?

    -----


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  3. #2
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Bonsoir,

    Si tu connais tu peux utiliser la formule du binôme de Newton : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...B4me_de_Newton

    Sinon tu peux faire une démonstration par récurrence.

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2015 à 22h48.

  4. #3
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Justement, j'ai pensé à la récurrence. Mais le but est en gros de montrer que :



    et non que :



    étant donné que moi ce que je veux avoir à la fin c'est .

    Et du coup je vois pas très bien comment faire avec la première expression. Déjà, je ne me fourvoie pas, il faut bien partir de cette expression-ci ?

  5. #4
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Citation Envoyé par KINDERMAXI Voir le message
    (...)



    (...)

    Déjà, je ne me fourvoie pas, il faut bien partir de cette expression-ci ?
    Ben oui (sauf que tu avais mis dans ton énoncé, mais bon cela revient au même), ...

    ... et du coup la récurrence est simple à faire.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2015 à 23h02.

  6. #5
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Citation Envoyé par KINDERMAXI Voir le message

    et non que :


    Et je rajoute, tu pars de cette expression si tu utilises la formule du binôme de Newton.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2015 à 23h25.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Du coup pour en revenir à la récurrence :

    L'initialisation est évidente.

    Ensuite pour l'hérédité, on a :

    Soit

    1) Par hypothèse donnée par l'énoncé :

    2) Par hypothèse de récurrence :


    Maintenant, à l'aide de 1) et 2), tu dois montrer que :


    A toi de jouer

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2015 à 23h36.

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  10. #7
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Et dans le cas de l'utilisation de la formule du binôme de Newton, utiliser :



    ou




    selon la forme de la formule du binôme de Newton que l'on choisit.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 02/04/2015 à 23h49.

  11. #8
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    D'accord, merci. Je vais essayer de le faire par récurrence tout d'abord (n'ayant pas vu en cours la formule du binôme de Newton), et je me pencherais sur ce cher binôme de Newton ensuite. Merci beaucoup PlaneteF.

  12. #9
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Pour l'hérédité, voici ce que j'ai fais :

    Supposons tel que est vraie, montrons que est vraie.

    On sait que :

    et on a un couple tel que , d'après l'hypothèse de récurrence

    Donc on a :







    Notons :




    Donc on a bien :

    , avec

    En conséquent, est vraie.

    Conclusion : Ainsi, , tel que .

    Est-ce correct ? (j'ai passé l'initialisation, cette dernière étant quasi immédiate)

  13. #10
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Je n'ai pas vérifié le détail de ton calcul, mais sur le principe c'est bon.

    Cdt

  14. #11
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Ensuite pour l'hérédité, on a :

    Soit
    Petite rectification de ce que j'avais écrit : En fait dans ton énoncé c'est pour .

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 03/04/2015 à 20h53.

  15. #12
    OY1951

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Bonsoir,

    Messieurs est ce qu'avec le théorème de Gauss cela ne serait-il pas beaucoup plus facile
    de démontrer que a et bn sont premiers entre eux sachant que a et b le sont?

    cordialement

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  17. #13
    gg0

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    C'est évident,

    mais l'enjeu était de le faire avec Bézout.

    Cordialement.

  18. #14
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Bonsoir,

    Merci de vos réponses, qui m'ont par ailleurs beaucoup aidé. Enfin, imaginons que justement, j'aurais voulu montrer que et sont premiers entre eux lorsque et sont premiers entre eux, avec le théorème de Gauss. Comment aurait-il fallu procéder ?

    En effet, je pars de ceci :




    Mais je vois pas quoi faire pour appliquer ensuite le théorème de Gauss. J'ai l'impression que je pars dans la mauvaise direction.

    Merci d'avance

  19. #15
    gg0

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Tu es reparti avec Bézout !

    Si b divise a^n, alors ...

  20. #16
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Je serais tentée de dire que si b/a^n alors il existe un entier relatif k tel que a^n=bk. Ensuite... j'ai toujours pas d'idée. oO J'ai pensé à dire que cela signifie que a*a*...*a (n fois) = bk, mais ça ne m'avance pas beaucoup. :/

  21. #17
    gg0

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Peux-tu rappeler le lemme de Gauss (théorème de Gauss) ?
    Car j'ai l'impression que tu ne cherches pas à t'en servir.

  22. #18
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Le lemme de Gauss affirme que si a, b et c sont des entiers, que a = bc et que a et b sont premiers entre eux, a divise c.

    Mais j'ai toujours pas réussi à démontrer ça avec Gauss. J'ai trouvé ceci par contre :

    On sait que

    Et on cherche à démontrer que

    Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un entier p premier tel que : p/a^n et p/b. Or, selon le lemme d'Euclide, p/a et p/b. Or a et b sont premiers entre eux. Mais alors et donc a^n et p sont premiers entre eux.

    Je sais pas si ça marche, parce que j'ai des doutes sur ma supposition "il existe un entier p premier". En effet, s'il existait un entier n non premier qui divisait a et b, je n'aurais pas pu utiliser le lemme d'Euclide et donc en arriver à ma conclusion. Mais de l'autre côté, s'il existait un entier n non premier qui divisait a et b, alors on aurait pu décomposer n en facteurs de nombres premiers, donc aurait bien eu un nombre premier p qui divise n et donc qui divise a et b.
    Après, on a pas encore vu la décomposition en facteurs premiers d'un nombre en cours, mais le raisonnement semble intuitif. Me tromperais-je ?

    Quant à Gauss, j'ai essayé de partir de "si b/a^n alors..." mais à chaque fois je bloque. Même en partant du présupposé qu'il existe un entier n différent de 1 (ou -1) qui divise b et qui divise a^n, je ne trouve pas grand chose finalement. Et je veux pas abandonner cette démonstration, j'aimerais bien comprendre pourquoi je n'y arrive pas avec Gauss !

    Merci de l'aide en tout cas !
    Dernière modification par KINDERMAXI ; 04/04/2015 à 12h19.

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  24. #19
    f6eyo

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Hypothèse : Si un nombre « a » divise bc et s’il est premier avec « b » alors il divise « c »

    Puisque « a » et « b » sont premier entre eux, il existe 2 entiers relatifs « x » et « y » tels que :

    ax + by = 1

    Multiplions par un 3éme entier relatif « c » :

    acx + bcy = c

    « a » divise acx et aussi (voir hypothèse ci dessus) bc donc aussi bcy donc la somme « acx + bcy » donc « c ».

    Supposons maintenant que « a » et « b » (qui sont premier entre eux) soient aussi premier avec « c », il existe alors "x", "y", "z", et "t" tels que :

    ax + by = 1,

    et

    az + ct = 1

    donc : (ax + by) (az + ct) = 1

    Qu’on peut réarranger comme suit :

    a(axz + byz + cxt) + bc . xt = 1

    Il en découle que “a” et “bc” sont premier entre eux (théorème de Bachet) !

    « a » et « b » étant premiers entre eux ; « a^n » et « b^m » sont donc premiers entre eux quelles que soient « n » et « m »…

    Est-ce que ça vous aide ?

  25. #20
    gg0

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Bonjour Kindermaxi.

    Il suffit de contraposer le lemme de Gauss. Pris sous la forme :
    Soient a, b et c des entiers tels que a est premier avec b. " a divise bc (*)" implique "a divise c"
    En contraposant :" a ne divise pas c" implique "a ne divise pas bc"
    On construit facilement une preuve par récurrence sur n que si a est premier avec b, il est premier avec b^n.

    Cordialement.

    (*) et pas a=bc comme tu l'écrivais au message #18. Il est rare qu'un nombre divise un de ses diviseurs ... le seul cas serait b=1.

  26. #21
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Merci gg0 de toutes ces explications, ainsi qu'à tous les autres qui ont pu m'aider.

  27. #22
    f6eyo

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    A la suite du message #19 et pour répondre à la question posée en #1 : Un nombre premier avec chacun des nombres d'un ensemble fini est premier avec leur produit en l’occurrence, si "a" et "b" sont premier entre eux, alors "a" est premier avec b^m et par voie de conséquence ; lire la fin de #19...

  28. #23
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Bonjour,

    Pour compléter les méthodes proposées, j'avais évoqué au début du fil l'utilisation de la formule du binôme de Newton. Dans ce cas pas besoin de récurrence (d'une certaine manière la récurrence est déjà contenue dans la démonstration de la formule) et l'on a tout simplement et directement :








    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 07/04/2015 à 16h26.

  29. #24
    PlaneteF

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Argh, ... je n'ai pas mis le plus important --> Tout cela étant bien évidemment
    Dernière modification par PlaneteF ; 07/04/2015 à 16h33.

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  31. #25
    KINDERMAXI

    Re : Identité de Bezout avec des puissances

    Super PlaneteF, j'ai pas vu les binômes de Newton au lycée (je ne sais pas si on les verra, d'ailleurs), mais ça en fait un bel exemple !

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