Spé maths - théorème de fermat

[invitecb82f686]

Bonjour,

Je poste car je bloque sur un exercice. En fait, voici l'énoncé :

Soit p un nombre premier impair, et soit c un entier qui n'est pas un multiple de p. On suppose que c est un carré modulo p, et donc il existe un entier a tel que c = a² (mod p).

a) Justifier que (p-1)/2 est un entier naturel, puis démontrer que c^((p-1)/2) = 1 (mod p).

b) En déduire que, si p est de la forme 4k+3, où k appartient à N, alors -1 n'est pas un carré modulo p.

Bon, pour la justification de la a, ça ne m'a pas posé de problème. Maintenant, pour la démonstration, j'ai montré que, c et p étant premier entre eux, on a d'après le petit théorème de Fermat : c^(p-1) = 1 (mod p). Mais je suis bloquée pour la division sur 2. J'ai pensé à faire c^(p-1) * c^1/2, mais bon, c^1/2 c'est la racine de c, et là ça commence à devenir compliqué. Je vois pas trop comment faire. :/

Quelqu'un pourrait-il m'aider un peu ? Car là je vois pas comment faire :/
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[gg0]

Bonjour.

Règles de calcul sur les puissances (vu en troisième) : c^(p-1) * c^1/2= c^(p-1+1/2).

Tu as manifestement oublié une hypothèse, pourtant bien détaillée dans l'énoncé.

Cordialement.

[invitecb82f686]

Effectivement, ça me paraissait bizarre que je n'utilise pas à un moment l'hypothèse qu'il existe a appartenant à N tel que c = a² (mod p). Mais je vois pas trop où l'utiliser.

Pour la démonstration, j'ai fais :

D'après le petit théorème de Fermat : c^(p-1) = 1 (mod p), donc (c^(p-1))^1/2 = c^((p-1)/2) = racine de 1 = 1 (mod p)

Est-ce faux ? Parce que c'est bizarre que j'utilise pas le c = a²

[invite9dc7b526]

-1 est aussi racine carrée de 1. Et généralement on n'a pas 1 = -1 (mod p)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu ne vois vraiment pas le rapport entre une puissance 1/2 de c et le c=a² ?????

[invitecb82f686]

Ah...

Bon, donc ça nous donne :

c^(1/2) = a (mod p)

(c^(1/2))^(p-1) = a^(p-1) (mod p)

Mais là, ai-je le droit de dire que a^(p-1) = 1 (mod p), car ça serait vrai si a et p sont premiers entre eux. Or je sais juste que c et p sont premiers entre eux, et c = a² (mod p).

Encore désolé de toutes ces questions, j'ai pas fais de spé maths depuis 1 mois et j'ai du mal à reprendre.

[gg0]

c^(1/2) n'est pas un entier, à priori. La notion de puissance 1/2 n'a pas de sens dans les entiers. Débrouille-toi pour n'employer que des entiers.

a et p ne seraient-ils pas premiers entre eux ??