nombre triangulaire

[kaderben]

Bonjour
Voici un exo de bac math spé.
N nombre triangulaire et n entier naturel
Définition: N=1+2+3+4+...+n
On rappelle: 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 (suite arithmétique de raison 1)

On a démontré que:
N est un carré ssi existe p tel que N=p²
On obtient:n²+n-2p²=0

puis on en déduit que2n+1)²-8p²=1

Puis on considere l'equation (E): x²-8y²=1, x et y entiers relatifs

si (x,y) solution de l'equation alors : les coefficients 1 et 8 sont premiers entre eux donc d'après l'identité de Bézout, x et y sont premiers entre eux.

Question: à l'aide des parties précédentes déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2015 qui est le carré d'un entier.

n(n+1)/2>2015 donne n>=63
2n+1 et p doivent etre premiers entre eux, c’est-à-dire 127 et p premiers entre eux.
P=45 et 127 sont premiers entre eux mais ils ne vérifient pas l’équation (E).
Après je ne vois pas ce qu’il faut faire (bien sûr on peut toujour tâtonner mais ce n'est pas ce qui est demandé.)

Probablement il y a la correction sur internet mais je préfère le contact avec les internautes.

Merci pour vos commentaires
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[invite94cf6d1d]

Bonjour,
A part tâtonner (ou écrire un programme qui tâtonne pour toi) je ne vois comme méthode que la résolution effective de cette équation x² - 8y² = 1
(qui s'appelle une équation de Pell ou de Pell-Fermat)

résolution qui n'est pas du programme de Lycée du tout et c'est "un peu compliqué"

le résultat de cette résolution est que l'ensemble de toutes les solutions est obtenu
soit par une formule de récurrence
partant de et (les plus petites solutions) et la relation de récurrence
(et du même genre pour x)

soit par une formule avec des trucs en que j'ai un peu la flemme d'écrire ici.
cette formule donnerait pourtant le nombre k directement (avec un petit coup de logarithmes) et donc la valeur de correspondante directement à la calculette
mais bon, la formule de récurrence marche ici aussi bien (et donc même mieux) vu que 2015 est encore un tout petit nombre !
donnant soit , c'est "tout petit"

prouver tout ça (formule de récurrence etc) est à mon avis hors de portée d'un lycéen, sauf peut être avec un énorme paquet de questions intermédiaires explicites conduisant (téléguidage pas à pas) à la résolution effective de l'équation.

avec la formule de récurrence on obtient les valeurs de y dont les carrés sont des nombres triangulaires
y = 0, 1, 6, 35, 204, ...
et leurs carrés :
y² = 0, 1, 36, 1225, 41616, ...
le plus petit > 2015 est donc y² = 41616 = 204² !!
(bon courage pour obtenir ça par tâtonnement à la main !!)

d'où on tire la valeur de n donnant n(n+1)/2 = 204²

mais bon, vu que l'équation de Pell n'est pas du tout "au programme" ce qui était attendu était peut être de rédiger un programme sur calculette pour chercher y ...

[kaderben]

Merci mathafou, tu as raison!

Je n'ai pas posté la suite car je voulais savoir si on arrive juste avec cette première partie, finalement au niveau bac on y arrive pas.
La deuxieme partie est sur le calcul matricielle et suites (qui est au programme de TS spé) avec recurrence que je n'ai pas encore fini. Je posterai la duxieme partie après.

[kaderben]

Bonjour
Voici la deuxieme partie :
Lien avec le calcul matriciel
Soit la matrice A=[3,8 ;1,3] matrice carrée 3, 8 premiere ligne 1, 3 deuxieme ligne
Soit les suites Xn et Yn définies par :
Xo=3, Yo=1
(Xn+1 ; Yn+1)=A*(Xn ;Yn) matrices à une colonne
On admet que Xn et Yn sont des entiers naturels
Démontrer par récurrence que Xn et Yn sont solutions de (E)
Initialisation 1 ;0) solution de (E) (X1 ;Y1)=A*(1;0)=((3 ;1) vrai
(Xn+2 ; Yn+2)=A*(A*(Xn ;Yn))=(17Xn+48Yn;6Xn+17Yn)
Or (17Xn+48Yn)²-8(6Xn+17Yn)²=X²n-8Y²n

Mais x²-8y²=1 donc X²n-8Y²n=1 et puis je suis un peu largué !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite94cf6d1d]

Pourquoi faire si compliqué, et en plus tu rates une solution sur deux !

la récurrence c'est :

vérification que c'est vrai au rang 0 (que est solution)
hérédité :
Hypothèse de récurrence : est solution
calcul
puis on reporte cette valeur dans l'équation
et compte tenu que est solution, on obtient 1, donc est solution
et donc il y a bien hérédité et c'est fini

pourquoi sauter un cran plus loin en cherchant à calculer n+2 ?

nota : on retrouve ici par une matrice "parachutée par l'énoncé" les formules de récurrence que je signalais, sous une autre forme mais c'est pareil après quelques manipulatiosn algébriques.

donc une fois qu'on a prouvé cette partie, il est alors facile d'appliquer cette récurrence et de trouver les valeurs successives de Yn (et Xn) et de répondre à la question d'avant sur 2015
dommage que les questions soient posées dans le désordre !!

[kaderben]

Bonjour mathafou
Merci pour les précisions sur la récurrences.

Mon problème est le suivant:
Est ce que Xn est pour n ou n+1 et Yn est pour P ?
Franchement je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire pour arriver à N=p²

J'ai fait pas mal d'exos de bac 2015 mais alors celui-ci est vraiment coriace!

[kaderben]

Bonjour

Au fait, la methode matricielle donne comme résultats de (Xn,Yn)=(2n+1,p)
On arrive à l'étape577;204)
2n+1=577
n=288 et N=288*289/2=41616
204²=41616.
Merci pour tout.