Résolution d'inéquations trigonométriques

[Guillaume_63]

Bonjour ,

Je suis en train de voir les fonctions trigonométriques avec un livre de Terminale S mais une méthode de résolution d'inéquation n'est pas clairement donnée.

Voici le problème : Comment résoudre une inéquation de la forme cos (x) < cos (a) ; cos(x) > cos (a) ; sin(x) < sin(a) et cos (x) > cos (a) avec a un réel donné.


Le début du raisonnement est expliqué dans le livre mais pas la fin, il n'y a pas non plus de formule, j'ai donc cherché avec un petit dessin à trouver quelques formules.


Pour la fonction sinus, on considère deux points D et E sur le cercle trigonométrique dont l'ordonnée sin(a) doit différente de 1 ou k soit a =/= k*pi avec k un entier relatif

Inéquation sinus.jpg

Toute la partie bleue du cercle est solution de l'inéquation sin(x) < sin(a)

On va noter h le réel de ]- pi ; pi] repéré par D, E sera donc repéré par (pi - h).

Je propose la formule : (pi - h) + 2k*pi < x < 2pi + h + 2*k*pi

Pour sin(x) > sin(a) :

h + 2*k*pi < x < (pi - h) + 2*k*pi



Pour la fonction cosinus on considère deux points C et D dont l’abscisse est cos(a) avec cos(a) =/= O et pi


La partie bleue du cercle correspond aux solutions de l'inéquation sin(x) < sin(a)


Inéquation cosinus.jpg


On note h le réel de ]- pi ; pi] repéré par D, C est donc repéré par - h

Pour cos(x) > cos (a) <=> -h +2*k*pi < x < h + 2*k*pi

Pour cos(x) < cos(a) <=> h + 2*k*pi < x < 2*pi - h + 2*k*pi


Voilà, je voudrai savoir si à défaut d'être savantes ces formules marchent car elles ne sont pas données dans mon livre.

Cordialement

Guillaume
-----

[gg0]

Bonjour.

En 50 ans de mathématiques avec la trigo, je n'ai jamais appris ce genre de formules, ni ne les ai enseignées. Le cercle trigo suffit à traiter chaque question particulière sans s'encombrer l'esprit.

Cordialement.

[Guillaume_63]

Bonjour,

Merci de ta réponse, mais le raisonnement est-il bon ?


Cordialement

[gg0]

Oui, le raisonnement est bon. Reste seulement à relier h et a, car h n'est pas une donnée du problème !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Guillaume_63]

Euh oui...

D'ailleurs j'ai un exercice qui me fait bien souffrir :

Déterminez le nombre de solutions de l'équation sin²(x) + sin(x) 1 = 0 dans l'intervalle [0; 2pi]

Je dérive et je factorise, il faut que j'étudie le signe de ... 24sin(x) - 1

Tiens, c'est rigolo, je n'arrive pas à relier h

[Titiou64]

Bonjour,

En posant X=sin(x), tu devrais facilement pouvoir trouver X. Et en déduire x après.

PS : Encore plus simple en utilisant la propriété que -1<sin(x)<1, le calcul se fait en une ligne

[Guillaume_63]

Bonjour,

En posant X=sin(x), tu devrais facilement pouvoir trouver X. Et en déduire x après.

PS : Encore plus simple en utilisant la propriété que -1<sin(x)<1, le calcul se fait en une ligne

Bonjour,

Je ne comprends pas comment appliquer ce que vous me dites :$

Si je pose X = sin(x) alors cela revient à 24X +1

Donc je tente d'étudier 24X + 1 > 0 <=> X < (-1/24)

Je tente de déduire X : sin(x) = (1/24), je n'y arrive pas...


Et la deuxième méthode ne me parle pas plus

Je sais que -1< sin(x) < 1 (inégalités larges)

Donc -24 < 24 sin(x) < 24
Donc -23 < 34 sin(x) + 1 < 25

Et si j'essaie de décomposer en

si x appartient à [0 ; pi] alors sin(x) > 0

Mais si x appartient ) [pi ; 2*pi] alors -23 < sin(x) + 1 < 1

Et donc je n'arrive pas à déduire son signe


Cordialement

[gg0]

Quelle est exactement l'équation de départ ?
" sin²(x) + sin(x) 1 = 0" a un problème d'écriture.
Je ne vois pas non plus de lien avec 24sin(x)-1. Ni pourquoi ça devient ensuite 24 sin(x)+1.