Bloquée sur une démonstration par récurrence

[invite6684f552]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour lundi et je suis bloquée vers la fin:
J'ai une suite u(n+1) = u(n) au carré +1 avec u(0)=0
Je dois démontrer que u(n) > (=supérieur ou égal) 2^n pour tout entier supérieur ou égal à 4
Je suis bloquée dans l'hérédité
Voilà ce que j'ai fait :
On suppose que pour un entier naturel m supérieur ou égal à 4, u(m)>2^m et on montre que u(m+1)> 2^(m+1)
u(m)> (tous les > veulent dire "supérieur ou égal) 2^m
u(m) au carré> 2^(2m)
Pour m>4, 2^(2m) est supérieur ou égal à 2^(m+1)
Donc, u(m)>2^(2m)>2^(2m+1)
... ?

Si vous avez une idée pour résoudre cet exercice.... Merci beaucoup
-----

[gg0]

Bonjour.

Il te suffit de reprendre ton raisonnement calmement, en n'écrivant que des évidences ou des applications de règles :
"u(m) au carré> 2^(2m)" au fait, pourquoi parles-tu de u(m)² ?
"2^(2m) est supérieur ou égal à 2^(m+1)"
donc ... (rappel on voulait montrer que "u(m+1)> 2^(m+1)".

Si ce n'est pas évident pour toi, on peut se demander ce que tu comprends à ce que tu as écrit !!

Cordialement.

[invite6684f552]

En fait, c'est le "-1" qui me gêne dans l'expression de u(n), je ne sais pas vraiment comment l'intégrer à ma démonstration

[gg0]

Quel -1 ? je n'en ai vu aucun dans ton message.

Sois sérieux ! Soit Un est défini comme dans ton message #1, et il n'y a pas de problème, soit c'est un autre énoncé, et comment veux-tu que j'en parle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6684f552]

Zut excusez moi le "+1" dans u(n+1)= u(n) au carré +1
A chaque fois que je crois m'approcher de la solution, le "+1"ruine tout mon raisoonnement !

[gg0]

Pourtant il ne pose aucun problème !



Comme tu n'écris plus grand chose, on ne peut pas t'aider à avancer, sauf à rédiger un corrigé, ce qui est le travail de ton prof.

[invite6684f552]

Je crois avoir compris, je prouve que la suite u(n) est croissante et ainsi, je trouve la suite d'inégalités, u(n+1)>u(n)>2^n>2^(n+1)
Est-ce que ca peut marcher comme ça ?

[gg0]

"2^n>2^(n+1) "
Tu y crois vraiment ????

[invite6684f552]

Ah bah nan c'est stupide ! Euh bah je vois vraiment pas alors

[gg0]

Tu a presque tout ce qu'il te faut dans ton premier message, il suffit de mettre en forme, en écrivant tout (application de règles sur les inégalités).

[invite6684f552]

Je viens de comprendre je me suis embrouillée toute seule... merci beaucoup pour votre aide

[invite6684f552]

j'ai repris mon raisonnement d'où je l'avais abandonné:
j'avais la suite d'inégalités u(n) au carré > 2^(2m) > 2^(2m+1)
Mais u(n) au carré +1 > u(n) au carré
Donc on trouve finalement que u(m+1) > 2^(2m+1)

C'est ça ?

[PlaneteF]

Bonjour,

j'ai repris mon raisonnement d'où je l'avais abandonné:
j'avais la suite d'inégalités u(n) au carré > 2^(2m) > 2^(2m+1)

Ben non, ... et gg0 t'avais déjà repris là-dessus :

"2^n>2^(n+1) "
Tu y crois vraiment ????

Cordialement

[gg0]

C'est quand même inquiétant de voir que tu as bien dit qu'il faut démontrer u(m+1)> 2^(m+1) et que tu ne le fasses pas, copiant bêtement u(m+1) > 2^(2m+1).
J'en arrive à me demander si le contenu du premier message est de toi, et si tu ne copies pas bêtement des choses écrites par d'autres et que tu ne cherches pas à comprendre (comprendre=savoir quelles règles élémentaires permettent d'écrire ça).

Donc essaie d'utiliser ton intelligence pour comprendre ce qu'il y a à faire, comment le faire, et rédiger cette courte preuve.

Ensuite, on essaiera de voir un point qui resterait à justifier ("Pour m>4, 2^(2m) est supérieur ou égal à 2^(m+1)"), mais est un peu moins facile.

Allez, au travail sérieux !

[invite6684f552]

Bonjour,
Non, excusez moi, je me suis trompée dans l'écriture:
Pour m>4, 2^(2m)> 2^(m+1)
Est - ce que cela marche comme ça ?

[gg0]

Réécris tout !

[invite6684f552]

Le travail que j'ai fourni est bien de moi, je ne demanderais pas de l'aide autrement si je n'avais pas un minimum travaillé sur cet exercice.
Comment peut-on démontrer que pour m>4, 2^(2m) est bien supérieur ou égal à 2^(m+1) ??

[invite6684f552]

Hérédité:
On suppose que pour un entier naturel m>4, u(m)>2^m et on montre que u(m+1)>2^(m+1)
u(m)> 2^m d'après l'hypothèse de récurrence
u(m) au carré > 2^(2m)
Or, pour m>4, 2^(2m) > 2^(m+1)
Donc, U(m) au carré > 2^(2m) > 2^(m+1)
u(m) au carré +1 > u(m) au carré > 2^(2m) > 2^(m+1)
On a donc l'inégalité u(m+1) > 2^(m+1)
On peut alors conclure que pour tout entier naturel n >4, u(n) >2^n

[gg0]

Ok.

Reste à justifier que . Que peux-tu dire de 2m et de m+1 ? Conséquence ?
Bien évidemment, tu dois être consciente des règles que tu utilises. par exemple, pour ton texte du message précédent, je les rajoute :

"u(m)> 2^m d'après l'hypothèse de récurrence
u(m)²> 2^(2m) car si a>b>0, alors a²>b² (la fonction carré est croissante sur R+) et
Or, pour m>4, 2^(2m) > 2^(m+1) reste à justifier
Donc, U(m)²> 2^(2m) > 2^(m+1)
u(m) au carré +1 > u(m) au carré > 2^(2m) > 2^(m+1) car 1>0 et on peut ajouter un même nombre (u(m)²) aux deux membres d'une inégalité
On a donc l'inégalité u(m+1) > 2^(m+1) transitivité de <"

Cordialement.

[invite6684f552]

Ah oui merci !
Mais qu'est-ce que la transitivité de < ? Je viens de chercher mais je n'ai pas vraiment compris...
Quant à 2m et m+1, je sais que si on prouve que 2m>m+1 alors on prouve également que 2^(2m)>2^(m+1) mais je n'ai pas vraiment d'idée pour le montrer

[PlaneteF]

car si a>b>0, alors a²>b² (la fonction carré est croissante sur R+)

Préciser que la fonction carré est strictement croissante sur , ... sinon la stricte inégalité n'est pas assurée.


Cordialement

[gg0]

Ah oui merci !
Mais qu'est-ce que la transitivité de < ? Je viens de chercher mais je n'ai pas vraiment compris...

La transitivité de < est le fait que si a<b et b<c, alors a<c.

Quant à 2m et m+1, je sais que si on prouve que 2m>m+1 alors on prouve également que 2^(2m)>2^(m+1) mais je n'ai pas vraiment d'idée pour le montrer

Tu sais que m>4 donc 2m=m+m> ?

[PlaneteF]

Quant à 2m et m+1, je sais que si on prouve que 2m>m+1 alors on prouve également que 2^(2m)>2^(m+1) mais je n'ai pas vraiment d'idée pour le montrer

Pour la justification il y a aussi le fait que la fonction est srictement croissante sur .

Cdt

[invite6684f552]

Ah bah oui, comme m>4, m+m>m+1 donc, 2m>m+1,donc, on en déduit que, 2^(2m)> 2^(m+1)
Merci beaucoup pour votre aide ! J'ai tout compris !

[gg0]

J'aurais écrit
comme m>4, m>1 donc m+m>m+1 donc 2m>m+1, ...

Pourquoi mets-tu des virgules après donc ?

[invite6684f552]

je ne sais pas trop...