Racine carrée

[invite194ee1f6]

Bonjour. Pourquoi le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif ? Pourquoi par exemple racine carrée de 9 ne peut pas être égale à -3, c'est quoi le problème ?
Merci
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Sur le principe, rien ne t'empêche de définir une fonction réelle "racine carrée bis", que l'on noterait par exemple , définie de vers de la manière suivante : Pour tout réel positif, est l'unique réel négatif dont le carré est . On aurait alors la relation : , ... et par exemple

Maintenant à mon tour de te poser une question : Sachant que la fonction "racine carrée" existe déjà avec les services rendus qu'on lui connait, quel serait l'intérêt d'une telle fonction ?

Cordialement

[PlaneteF]

Je complète mon message précédent en disant que l'on aurait par exemple pour tout , la formule suivante : , ou encore si l'on prend en plus ,

Du coup, on se trimbalerait avec des signes que l'on a pas avec la fonction "racine carrée". Quitte à choisir entre les 2 fonctions, autant prendre ce qui semble être le plus "naturel".

Cdt

[gg0]

En complément :

l'usage des racines carrées est bien plus ancien que celui des nombres négatifs. ce qui fait que la racine carrée a été définie comme un nombre positif (les seuls disponibles à l'époque) et comme c'est bien pratique, on a décidé de mettre ça dans la définition moderne.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

Pourquoi le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif ?

D' ou sort tu cette affirmation fausse ?

Pourquoi par exemple racine carrée de 9 ne peut pas être égale à -3, c'est quoi le problème ?

Il n' y a aucun problème .
9 a deux racines carrées : +3 et -3

[gg0]

Très dangereuse, ta réponse, Dynamix.

Et même fausse, puisque cette affirmation ne l'est pas !!!

La racine carrée d'un réel positif est un nombre positif.

Si tu veux parler des racines carrées des nombres complexes, alors la notion de positif n'a plus de sens. la question portant sur positif, on n'est pas dans les complexes, mais dans le cadre de la fonction racine carré.

Cordialement.

[Dynamix]

Le carré de -3 n' est pas +9 ???
On m' aurait mentit .
Pourtant (-3)*(-3) = +9

[PlaneteF]

Bonjour,

Le carré de -3 n' est pas +9 ???
On m' aurait mentit .
Pourtant (-3)*(-3) = +9

Sauf que ne rentre pas dans le périmètre de la définition de la racine carrée d'un nombre réel positif (ce dont il s'agit dans ce fil).

Cf. la définition en première phrase ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e

Et donc, par définition :

Cordialement

[gg0]

Sauf à faire preuve de cuistrerie,

on répond bien ici à la question de Amateurisme. Qui parle bien de "résultat d'une racine carrée".

Cordialement.

[invite194ee1f6]

Merci à tous pour vos réponses

Bonsoir,

Sur le principe, rien ne t'empêche de définir une fonction réelle "racine carrée bis", que l'on noterait par exemple , définie de vers de la manière suivante : Pour tout réel positif, est l'unique réel négatif dont le carré est . On aurait alors la relation : , ... et par exemple

Maintenant à mon tour de te poser une question : Sachant que la fonction "racine carrée" existe déjà avec les services rendus qu'on lui connait, quel serait l'intérêt d'une telle fonction ?

Cordialement

En fait, tu m'expliques qu'il faut définir une autre fonction dont le résultat est négatif, d'accord. Mais ma question revient à dire: pourquoi la fonction que tu as définie (racine carrée bis) ne pré-existe pas dans celle qu'on utilise habituellement ?
Je ne demande pas pourquoi est-ce qu'on utilise l'une et pas l'autre, je demande pourquoi est-ce qu'on n'utilise pas les deux ? et si on me répond " si on a deux solutions à chaque fois pour racine de x, alors, la relation n'est plus une fonction". A cela, je réponds "et alors ? le fait qu'une relation soit une fonction est une conséquence, mais pourquoi supprimer la moitié des solutions pour que la relation racine de x soit une fonction ? A ce moment là, n'importe quelle relation peut être une fonction, suffit juste de supprimer les solutions qui empêchent qu'elle le soit..."
(j'agis par beaucoup d'affirmations mais je ne suis pas sûr de ce que je dis, je veux juste vous montrer la manière dont je réfléchis afin que vous puissiez voir ou je me trompe).

[gg0]

Mais justement, si on ne prend pas une fonction, on ne sait plus de quoi on parle !
Si vaut 3 pour l'un et -3 pour l'autre, comment vont-ils se comprendre ? Surtout s'ils changent prfois de façon de faire.

Ce qui n'empêche pas de savoir que l'équation x²=9 a deux solutions qui sont et . Nulle part on n'a " supprimer la moitié des solutions"; on a seulement pris une convention pour pouvoir les exprimer correctement.

Cordialement.

[Cuv]

La racine carrée en tant que fonction mathématiques est définie sur l'ensmble des , comme le dit gg0.

Il s'agit d'une définition mathématique qui permet de définir la fonction racine carrée comme la bijection réciproque de la fonction .

Ce qui n'empêche pas, comme le dis très justement gg0, de savoir que x² = 9 admet deux solutions...

[Cuv]

De la fonction de dans :

[invite194ee1f6]

Dites moi si j'ai bien compris si vous le voulez bien:
Si on part d'un concept(*) qui consiste à obtenir un réel en multipliant un réel par lui même: dans ce cas, on est en présence d'une relation mathématique (appelons la "slurp" telle que slurp (a) = b ou -b.). Exemple slurp(9) = 3 ou -3
Pour faire de cette relation, une fonction, Y doit être univoquement défini quand on connait x et par commodité, on choisit les résultats positifs et on appelle cette fonction racine carrée. Exemple: racine carrée (9) = 3
on peut aussi faire de ce concept (*) une fonction et choisir les nombres négatifs comme résultats, mais ça ne peut plus s'appeler "racine carrée" car c'est déjà pris pour les résultats positifs. Appelons cette nouvelle fonction "superman" .Par exemple superman (9) = -3.
Est-ce que j'ai bien compris ? Moyennement ? ou pas du tout ?
Merci pour vos efforts et votre patience !

[invite194ee1f6]

Dites moi si j'ai bien compris si vous le voulez bien:
Si on part d'un concept qui consiste à chercher un réel qui, multiplié par lui même, nous donne le radicande: dans ce cas, on est en présence d'une relation mathématique (appelons la "slurp" telle que slurp (a) = b ou -b.). Exemple slurp(9) = 3 ou -3
Pour faire de cette relation, une fonction, Y doit être univoquement défini quand on connait x et par commodité, on choisit les résultats positifs et on appelle cette fonction racine carrée. Exemple: racine carrée (9) = 3
on peut aussi faire de ce concept une fonction et choisir les nombres négatifs comme résultats, mais ça ne peut plus s'appeler "racine carrée" car c'est déjà pris pour les résultats positifs. Appelons cette nouvelle fonction "superman" .Par exemple superman (9) = -3.
Est-ce que j'ai bien compris ? Moyennement ? ou pas du tout ?
Merci pour vos efforts et votre patience !

[inviteddfccc82]

Prenons le graphique de , , mais n'oublions pas que nous ne gardons généralement que la branche positive de celle-ci dans le graphique.
La racine admet en effet 2 solutions dans et je ne vois pas pourquoi il est ici question de seulement des valeurs positives des réels... Puisque la
question est : «Pourquoi le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif ?» et cette affirmation est fausse..

[PlaneteF]

Bonsoir,

Mais non c'est faux.

Par définition :

question est : «Pourquoi le résultat d'une racine carrée doit toujours être positif ?» et cette affirmation est fausse..

Par définition : La racine carrée d'un nombre réel positif est positive.


Cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e


Cordialement

[invite194ee1f6]

Dites moi si j'ai bien compris si vous le voulez bien:
Si on part d'un concept(*) qui consiste à obtenir un réel en multipliant un réel par lui même: dans ce cas, on est en présence d'une relation mathématique (appelons la "slurp" telle que slurp (a) = b ou -b.). Exemple slurp(9) = 3 ou -3
Pour faire de cette relation, une fonction, Y doit être univoquement défini quand on connait x et par commodité, on choisit les résultats positifs et on appelle cette fonction racine carrée. Exemple: racine carrée (9) = 3
on peut aussi faire de ce concept (*) une fonction et choisir les nombres négatifs comme résultats, mais ça ne peut plus s'appeler "racine carrée" car c'est déjà pris pour les résultats positifs. Appelons cette nouvelle fonction "superman" .Par exemple superman (9) = -3.
Est-ce que j'ai bien compris ? Moyennement ? ou pas du tout ?
Merci pour vos efforts et votre patience !

[PlaneteF]

@amateurisme :

L'ensemble de tes 3 messages suivants : Message14 + Message15 + Message18 = SPAM

Cdt

[invite194ee1f6]

le premier, je me suis mal exprimé à un endroit et je ne pouvais plus modifier, fallait que j'en fasse un deuxième...concernant le troisième, c'était pour up le deuxième car une deuxième page s'est faite sur cette discussion...voilà, de là à dire "SPAM", c'est un grand mot je trouve. (faudrait peut-être qu'ils nous autorisent à supprimer nos messages)

[gg0]

En tout cas, Amateurisme,

tu as eu des réponses détaillées à ta question, et on l'a même élargie pour voir le lien avec la résolution d'équations. Redire dans le message #18, avec des mots non techniques, ce qui est dit déjà avec les bons mots n'apporte rien.
Il y a une convention pour la racine carrée d'un nombre (réel), et il suffit de la connaître.

De plus, en jouant sur les mots, tu mélanges deux choses différentes : la définition de la racine carrée, et la recherche de nombres dont le carré est donné. Le deuxième problème a amené à d'autres développements que la notion de racine carrée (nombres complexes, résidus quadratiques, ...) et est bien plus riche.

Cordialement.

[invite194ee1f6]

"Redire dans le message #18, avec des mots non techniques, ce qui est dit déjà avec les bons mots n'apporte rien."

Quand une notion est enseignée à un élève, c'est bien de lui demander de réexpliquer la notion avec ses mots. Si il y parvient, ça prouve qu'il a compris, si il ne fait que répéter, même avec des mots techniques, ce qu'on lui a dit, ça ne prouve rien, à part qu'il a faire l'effort de retenir par coeur ce qu'il n'a peut-être pas compris.
Donc, si tu me dis que j'ai redit ce que vous avez déjà dit, ça me rassure ^^

"De plus, en jouant sur les mots, tu mélanges deux choses différentes : la définition de la racine carrée, et la recherche de nombres dont le carré est donné."

recherche de nombres dont le carré est donné ? Donc, si on me donne 9, un carré, je peux rechercher les nombres qui, élevés au carré, donnent 9: 3 et -3.
par contre racine de 9, ça ne peut que faire 3, par convention ^^
Apparemment, ça en perturbe plus d'un (sur ce fil de discussion) qui, eux, sont persuadés que -3 est une réponse possible de racine 9...donc, je comprends que quelqu'un d'expérimenté comme vous trouve ça évident, mais ça ne l'est pas forcément pour tout le monde. Et me dire "c'est une convention", d'accord, mais là je me dis que les conventions, il y a toujours au moins une raison pour laquelle on les établit...et me dire "c'est pas une fonction si...", j'ai envie de répondre "et alors ? ça implique quoi ?"

Mais si vous estimez que vous en avez dit assez, alors très bien: je continuerai à réfléchir sur ce que vous m'avez dit et je vous remercie encore pour vos efforts.

[gg0]

On t'a dit les raisons (historiques et techniques) de cette convention. Mais attention, il y a des tas de conventions qui n'ont pas de raison. Par exemple rouler à droite pour le code de la route. Sans compter tous les mots que tu utilises, qui sont des conventions : Ce que tu dis "rouge", d'autres le disent "red", ou "rojo".

Quant à ceux qui sont "perturbés", il faut distinguer ceux qui connaissent les maths et parlent d'une situation différente (les racines carrées d'un nombre complexe), et ceux qui n'ont jamais appris la définition de "racine carrée de a", où a est une nombre positif. ce qui n'est pas ton cas.
Si je te parais strict, c'est que je suis d'une génération qui n'avait pas de problème avec ça (même ceux qui n'allaient à l'école que jusqu'à 13 ans). Toi, manifestement, tu t'interroges; c'est bien. mais lire et comprendre les réponses qu'on t'a faites devrait suffire : Que veux-tu qu'on te dise de plus, quand on a donné les raisons que tu demandes encore ?
Laisse tomber la notion de fonction si tu ne la comprends pas, reste sur la convention nécessaire pour pouvoir se comprendre; c'est la même idée.
Par contre, ta question "et alors ? ça implique quoi ?" ne peut rien t'apporter. Il faut savoir arrêter de réfléchir, il n'y a pas de secret caché.
C'est comme une blague : Si on se la fait expliquer, elle n'est plus drôle.

Cordialement.

[inviteddfccc82]

J'avais donc mal interprété la question..
Il faut quand même avouer que la question est bien mal posée, puisque celle-ci ne fait en aucun cas mention de nombres réels positifs...
C'est une convention certes, mais pourquoi alors ne l'utilisons nous presque jamais?
Prenons simplement l'exemple de la fonction quadratique. On sait depuis que l'on a 15 ans que celle-ci admet 2 valeurs (complexes ou non)...
En effet, d'où le ± qui vient directement de cette racine..
Ainsi je ne suis pas certain de bien saisir cette convention...
Merci de continuer le débat! hahahaha qui n'est plus débat mais discussion

[Cuv]

Petite remarque gg0, il y a une explication historique au fait que l'on roule à droite et certains pays à gauche :

http://www.lepoint.fr/automobile/sec...734586_657.php

[PlaneteF]

Bonjour,

Il faut quand même avouer que la question est bien mal posée, puisque celle-ci ne fait en aucun cas mention de nombres réels positifs...

Ben si, et il n'y a pas d'ambiguité dans la question qui mentionne bien le terme "positif" et à propos de quoi gg0 a écrit ceci :

La racine carrée d'un réel positif est un nombre positif.

Si tu veux parler des racines carrées des nombres complexes, alors la notion de positif n'a plus de sens. la question portant sur positif, on n'est pas dans les complexes, mais dans le cadre de la fonction racine carré.

Ensuite :

C'est une convention certes, mais pourquoi alors ne l'utilisons nous presque jamais?

Hein ?? ... Selon toi on utilise jamais la propriété comme quoi la fonction racine carrée est toujours positive

En effet, d'où le ± qui vient directement de cette racine..

Et ben dans cet exemple la racine carrée est bien évidemment positive, ... c'est quoi le questionnement au juste


A tiens au passage, à propos de ceux ou celles qui voyaient une racine carrée potentiellement négative avec l'usage d'un , que pensez-vous de la relation archi connue suivante :

On a donc et on aurait alors qui vaudrait


Cordialement

[invite194ee1f6]

Réponse 2 : Elle m’explique qu’on peut prendre une des deux solutions (négative ou positive) et que les résultats positifs sont les plus commodes.
ça ne m’explique pas pourquoi on ne peut pas prendre les deux solutions possibles.

Réponse 4 : Elle m’explique que c’est historique : je ne pense pas que ça soit une raison…une science peut évoluer.

Réponse 8 : Elle m’explique qu’il faut juste se soumettre à la définition sans réfléchir.

Réponse 11 : elle m’explique que si la racine carrée a deux réponses, ce n’est plus une fonction. Ça ne me dit pas en quoi c’est un problème.

Réponse 12 : Pareil que la réponse 8 : il faut se soumettre à la définition sans réfléchir.

Réponse 17 = Réponse 12 = Réponse 8

Réponse 26 : on me redonne la définition sous forme de formule.

voilà… on peut résumer les réponses que j’ai reçues à ça :
1)c’est la définition
2)c'est historique
3)Sinon c’est pas une fonction

Donc, pour répondre à « On t'a dit les raisons (historiques et techniques) de cette convention. »

Je ne vois pas quelle raison on m’a donné…on m’a simplement récité ce que je savais déjà car tout le monde le dit, ça ne m’explique pas pourquoi…
Me dire ça ne me prouve pas que les notions ont été comprises…si c’est ce que vous appelez "comprendre", je comprends que vous disiez qu’un enfant de 13 ans puisse le faire car il suffit de réciter…selon ma vision de la compréhension (que je vais expliciter plus bas), très peu de gens ont compris…et je répète : connaitre les règles et les réciter, je n’appelle pas ça comprendre.

« n'avait pas de problème avec ça (même ceux qui n'allaient à l'école que jusqu'à 13 ans) »

Heureusement que vous n’êtes pas prof XD Vous imaginez si un élève venait vous poser une question et que vous lui disiez « ça, même un enfant de 7 ans pourrait le comprendre… » (sous-entendu « t’es un idiot »)…ça aurait pour conséquence que cet élève n’oserait plus poser de questions, ne comprendrait donc plus et finalement n’aimerait plus les mathématiques…Je ne pense pas que vous auriez été un bon ambassadeur des mathématiques car il faut faire preuve de plus de pédagogie que ça, peser chacun de ses mots et mesurer leur conséquence avant de les utiliser…Je vous dis ça vraiment à contre cœur car il faut avoir un bon fond pour accepter de venir sur ce site dans le but d’aider les gens : je ne conteste donc nullement votre générosité mais faites juste attention avec ce genre de remarques désobligeantes. Ça rendrait service à votre propre personne car la mansuétude fait briller l’être qui en est paré et ça rendrait service à ceux qui vous lisent dans le but d’avancer dans la compréhension de divers concepts.

Bref, je vais être plus clair :
Si par exemple, une personne me demande « pourquoi le radicande d’une racine doit être positif ? » et que je lui réponde « c’est la définition », comment puis-je me permettre de lui dire, après ça « voilà, je t’ai donné une raison suffisante » ?
Par contre, si je lui dis « ben il n’y a que deux possibilités quand on multiplie un nombre par lui-même : soit positif*positif, soit négatif*négatif, dans les deux cas, ça donne du positif, voilà pourquoi le radicande est toujours positif »( on laisse les complexes de côté, on est dans R)
Voilà, ça c’est une explication logique qui lui permet de comprendre pourquoi le radicande est forcément positif…est-ce qu’il n’y aurait pas une preuve similaire ou pas similaire mais qui, par la logique, nous permet de comprendre pourquoi une racine carrée est positive ? Pourquoi la personne qui a établi la définition s’est dit « ah ben non, je ne peux pas prendre les deux solutions, il y en a forcément une seule (soit négative, soit positive et on choisit positive par commodité) car… »
Et si on me dit « si on prend deux solutions, ça n’est plus une fonction », eh ben je voudrais avoir la suite « or, ça ne peut pas ne pas être une fonction, il faut que ça soit une fonction car… »

[Dynamix]

Réponse 4 : Elle m’explique que c’est historique : je ne pense pas que ça soit une raison…une science peut évoluer.

Ce point la me surprend aussi .
Les équations du mouvement de Newton , par exemple , ont souvent été reformulées .

La démonstration de PlaneteF n' est pas convaincante , vu que l' énoncé exclu d' office les solutions négative .

Il y a peut être une justification par les complexes : √ (r.e^iθ)

[inviteddfccc82]

Dans la formule quadratique, la racine est belle et bien positive puisque la convention l'exige.
Par contre, donnez moi une explication valable de la présence du ±.
Ne serait-elle pas: Une équation de 2e degré peut admettre 0,1,2 solutions et puisque celle-ci est une fonction, il est pertinent de tous les trouver alors on ajoute ±...?

On sait tous très bien que la fonction racine carré est la réciproque de la fonction quadratique.
Or, la réciproque de la fonction quadratique est la racine carrée.
Ceci implique que la racine carrée admet également deux branches, soit 1 positive et 1 négative.
La convention exige que nous ne gardions que la branche positive de celle-ci, mais n'aurait-on pas pu garder simplement la négative?
Alors pourquoi cette convention?
De manière générale nous étudions quand même la valeur négative de la racine puisque celle-ci fait aussi du sens..

Par exemple, .
Selon la convention,


Et nous savons bien que admet solutions,
Alors qu'en est-il réellement...

[PlaneteF]

La démonstration de PlaneteF n' est pas convaincante , vu que l' énoncé exclu d' office les solutions négative .

... Mais de quelle démonstration parles-tu ?? ... Je n'ai pas fait une seule démonstration dans ce fil où j'ai principalement rappelé la définition d'une racine carrée d'un nombre réel !

Et de quel énoncé parles-tu ??

Cdt