bonjour
voici le problème puis l'ébauche d'une réponse que je n'arrive pas à finaliser
merci pour votre aide
énoncé
Soit P le polynôme de degré 2015 tel que
pour tout entier n tel que n supérieur ou égal à 0 et n inférieur ou égal à 2015, P(n) = n/(n+1)
Calculer P(2016)
Réponse
avec la première expression on peut écrire (n+1)P(n)-n=0
On peut écrire un polynôme Q(x) = (x+1)P(x)-x qui peut s'écrire xP(x) +P(x) -x et Q(x) est un polynôme de degré 2016
car si P(n) est de degré 2015 ; (n+1) P(n) -n sera de degré 2016
Q(x) = (x+1)P(x)-x peut s'écrire Q(x) = k(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-x2016) et les racines du polynôme sont x1,x2,x3,....x2016
si n/(n+1) sont les racines du polynôme alors x1= 0; x2=1/2 ; x3= 2/3 ; .... ( je ne sais pas démontrer pourquoi (n/n+1) sont les racines , les valeurs ont été donnée par le prof
Q(x) = k(x-0)(x-1/2)(x-2/3)(x-3/4)...(x-2015/2016)
on cherche k
pour cela on peut remarquer que Q(-1) = k(-1-0)(-1-1/2)(-1-3/4)...(-1-2015/2016)
et si on écrit Q(x) = (x+1)P(x)-x alors on obtient Q(-1) = (-1-1)P(-1)-(-1) = 1
Donc 1 = k(-1-0)(-1-1/2)(-1-3/4)...(-1-2015/2016)
1= k(-1)(-3/2)(-5/3)...(-4031/2016)
et ensuite je ne vois pas comment trouver k ni d'ailleurs à trouver la suite P(2016) ?
cela doit être du niveau TS
si quelqu'un peut m'aider à progresser ?
-----