Limites

[invitec7eabd91]

Bonjour a tous !! le probleme : calculer la limite quand x-> -∞ de f(x)=1+2x+2√(x*2+x-2)
mon prof nous a donné la solution suivante : f(x)= 1 +2x + 2√((x+0.5)*2-9/4) {c'est le carre parfait}
donc lim x-> -∞ f(x) = 1+2x+2 (-x-1/2)√{1-9/4(x+0.5)*2}
= 1+2x+ (-2x-1) √{1-9/4(x+0.5)*2} = 0
ce que je ne comprends pas : si on avait fait la methode suivante : f(x)= 1+2x+2√{x*2(1+1/x-2/x*2)}
on aurait eu 1+2x+2|x|√(1+1/x-2/x*2) = 1+2x-2x√(1+1/x-2/x*2)= 1+x{2-2√(1+1/x-2/x*2)} et comme les coefficients de x s'annulent donc c'est une forme indeterminee 0.∞ ..... pourquoi alors dans l'etape tapée en rouge ci dessus , on a pas dit qu'aussi les coeffcients de x s'anulent { on a x(2-2 √{1-9/4(x+0.5)*2} } et que c'est indeterminee ??
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[invitec7eabd91]

aidez moi SVP

[Resartus]

Vous avez raison, le prof n'a pas tout dit.... Il faut prouver aussi que (2x+1)(1- racine(1-...)) tend vers zero.

Vous apprendrez plus tard des méthodes rapides (développements limités) pour trouver ce type de résultat.

Pour l'instant, voyez ce qui se passe en multipliant le haut et le bas de cette expression par l'expression conjuguée 1+ racine(1-...)
Au dénominateur, il va y avoir cette expression qui tend vers 2, et au numérateur une expression en 1/(x+0,5)^2 qui, multipliée par 2x+1 donne un résultat qui tend vers zero

[invitec7eabd91]

ah merci beaucoup !! donc c'est pas la meme chose dans les deux methodes !! il y a t il un moyen pour savoir quand on peut annuler les X et quand on ne peut pas le faire ? j'assume qu'on peut les annuler si on complete le carre parfait et on procede comme la premiere methode?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

De manière générale, une expression de type (1+epsilon)^n se comporte comme 1+nepsilon quand epsilon tend vers zero, donc une racine n=1/2 se comporte comme 1+Epsilon/2 .

Dans votre cas, cela se comportait comme 1+ 1/2x^2, qui une fois retiré 1 et multiplié par x tendait vers 1/2X soit zero. si par contre il était resté des 1/X dans la racine, cela aurait fait une limite constante.

Mais vous n'avez pas encore appris ces approximations et ne pouvez pas les utiliser. C'est pour cela qu'il fallait recourir aux conjugués des expressions avec racines qui permet de trouver le bon résultat