Nombres complexes et entiers

[Emiliex6]

Bonjour,

1/ Le plan est rapporté à un repère (O;u;v) orthonormé.
On donne A et B les points d'affixes respectifs 1+i et -4-i.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M', d'affixe z', tel que OM'=2AM+BM (ce sont des vecteurs)
a) Exprimer z' en fonction de z.
J'ai obtenu : z'=3z-i+2.

b) Prouver qu'il existe un unique point I confondu avec son image.
I(-1;1/2)

c) Prouver que I,M et M' sont alignés :
Je pensais calculer les coefficients directeurs et les comparer...

d) Déterminer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z'.
Je ne suis pas sûre de ma réponse :
a'i+b'=3ia-i+3b+2
0=3ia-a'i-b'-i+3b+2
i(3a-a'-1)-b'+3b+2=0
Partie imaginaire : 3a-a'-1
Partie réelle= -b'+3b+2

2)Justifier que la somme et la différence de deux entiers quelconques n et p ont même parité.
ma réponse : Si on a n=2k c'est donc un nombre pair
Et si on a p=2k'+1 c'est donc un nombre impair
donc si on additionne n avec p on obtient un nombre impair car n+p=2k+2k'+1 soit n+p=2(k+k')+1
Donc la somme (ou la soustraction ) d'un pair avec un impair donne un impair.
De la même façon, je trouve que la somme d'un pair avec un pair est un pair et que la somme d'un impair avec impair est un pair.

3) On note (x:y) les coordonnées de M et (x';y') celles de M'.
On considère l'ensemble H des entiers de 1 à 8 et on ne considère que les points M dont les deux coordonnées x et y appartiennent à H.
a) Déterminer un encadrement de x' et un encadrement de y'.
b) Prouver que x'-y' est un multiple de 3.

4)On se propose de déterminer tous les couples (x';y') avec x' dans X, y' dans Y tels que m=x'²-y'² soit un multiple non nul de 60.
a) Prouver alors que x'-y' est un multiple de 6, mais pas de 30.
b) En déduire alors que x'+y' est un multiple de 10.
c) Déterminer au moins trois couples (x';y') qui conviennent ainsi que les (x;y) correspondants.

Je suis bloquée à partir de 1)c) j'essaie vraiment de chercher et de comprendre mais j'ai du mal, je remercie beaucoup d'avance toute aide qu'on me donnera.
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[PlaneteF]

Bonjour,

c) Prouver que I,M et M' sont alignés :

Par définition : , que l'on peut écrire aussi :

On a aussi :

Maintenant tu additionnes membre à membre ces 2 dernières équations et c'est plié


Cordialement

[Emiliex6]

M' = 2AM + BM
OI + IM' = 2AI + 2 IM + BI + IM
or OI = 2AI + BI
donc 2AI+BI+IM'=2Ai+2IM+BI+IM
soit IM'=3IM
Donc comme on a IM'=3IM alors les vecteurs IM' et IM sont colinéaires et par suite, les points M',M et I sont alignés.

d) Déterminer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z'.
on a : a'+ib'=3a+3ib-i+2=i(3b-1)+3a+2
Re(a'+ib') : x'=3a+2
Im(a'+ib'): y'=3b-1
Je ne suis vraiment pas sûre.

Et j'ai refaite la d) est-ce exact ?

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Sujet déjà traité ailleurs, la question 4 n'a pas de sens, X et Y ne sont pas définis dans l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]