Symétrique d'une courbe par rapport à une droite.

[worgui]

Bonjour, où on nous demande de tracer le symétrique de la courbe de la fonction f(x)=x+racine carrée de (x²+x+1) par rapport à la droite d'equation y=x (dsl je ne sais pas comment faire les symboles mathématiques sur ce forum). Il faut ensuite montrer que l'équation de la courbe obtenue est de la forme y=(ax²+b)/(cx+d) or j ai beau cherché sur internet, je ne trouve pas comment réussir à tracer le symétrique d'une courbe par rapport à une droite de plus sans avoir pu tracer la courbe je ne vois pas comment je peux par le calcul prouver la forme de l'équation de la courbe à tracer. Quelqu'un pourrait-il me donner des indices sur cela svp?
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[joel_5632]

bonsoir

J'ai une idée, sans savoir si c'est la meilleure façon de procéder

En paramétré, l'équation de la courbe représentative de f est:

x = t
y = t+sqrt(t²+t+1)

la courbe symétrique par rapport à la droite d'equation y=x est maintenant très simple à obtenir

et pour montrer que l'équation peut aussi s'écrire y=(ax²+b)/(cx+d) et bien on réinjecte le x(t) et y(t) et on cherche a,b,c,d pour éliminer t

[worgui]

Je suis désolé mais je ne comprends pas comment tu fais pour obtenir la courbe symétrique (merci de ta réponse)

[joel_5632]

Le symétrique du point M(x, y) par rapport à la droite d'équation y=x est le point M'(y, x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[worgui]

ah oui effectivement merci

[worgui]

heu tu peux m'écrire l'équation de x et de y stp car il semblerait que je n'ai pas bien compris cette propriété pour ce cas là.

[joel_5632]

L'équation de la courbe symétrique ?

x = t+sqrt(t²+t+1)
y = t

ou x = y+sqrt(y²+y+1)


Est ce que c'est de la forme y=(ax²+b)/(cx+d) ?
je n'en sais rien

je ne vois pas comment passer de x = y+sqrt(y²+y+1) à y=(ax²+b)/(cx+d)

mais on peut regarder si t = (a(t+sqrt(t²+t+1))²+b)/(c(t+sqrt(t²+t+1))+d) pour des valeurs de a,b,c,d bien choisies. Je n'ai pas essayé.

[worgui]

ok merci beaucoup

[joel_5632]

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[worgui]

effectivement si on passe y du meme coté que x que élève au carré qu on factorise... on trouve bien un fonction rationnelle, les y² se simplifient.

[joel_5632]

Ah ok donc pas besoin de passer par une représentation paramétrique avec t