Explication de la formule du coeff directeur

[fred31460]

Bonjour,

Je sais comment on calcule de coefficient directeur d'une fonction affine ( différence des ordonnée / différence des abscisses), mais je ne comprends pas trop le coté logique de cette formule:

1- Pourquoi enlève t'on à " yB, "yA", de même au dénominateur, pourquoi à " xB " on enlève " xA", puis pourquoi divise t'on ensuite ?.

Je ne comprends pas trop le sens logique de cette formule, du pourquoi on divise la différence des ordonnées par celle des abscisses.

Merci beaucoup d'avance pour ceux qui pourront m'apporter une réponse.
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[gg0]

Bonjour.

Fais un dessin :
Le coefficient directeur d'une droite est le a dans son équation y=ax+b. Si la droite passe par les points A(xA,yA) et B(xB,yB), alors
yB=axB+b
yA=axA+b
Par soustraction, on obtient une équation dont on peut extraire la valeur de a.

Sinon, yB-yA est la distance de montée verticale, xB-xA la distance parcourue horizontalement, donc leur quotient mesure de quelle façon on monte, d'où son nom de "pente", très utilisé à la place de coefficient directeur; au moins en repère orthonormé.

Cordialement.

[fred31460]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Si je prends un exemple, admettons j'ai ma fonction affine 2x + 4.

Je prends deux points en ordonné, le " yB" qui vaut 8 et le "yA" qui vaut 6, et deux autres points en abscisse, le "xB" vaut 5, et le "xA" vaut 3.

Si je repends votre exemple, cela donne: yB=ax + b, c'est-à-dire 8 = 2 X 5 + 4
yA=ax+ b, c'est-à-dire 6 = 2 X 3 + 4.

C'est bien cela ?

Merci, cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

c'est-à-dire 8 = 2 X 5 + 4

Hein, kestudi ?? ... Chez moi ça fait

c'est-à-dire 6 = 2 X 3 + 4.

Hein, kestudi ?? ... Chez moi ça fait


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[fred31460]

Mince, je ne sais ce que j'avais fait

Donc, 14 = 2 X 5 + 4
10 = 2 X 3 + 4

Puis après, je peux résoudre l'équation ?

Cordialement.

[PlaneteF]

Puis après, je peux résoudre l'équation ?

De quelle équation parles-tu ?

Cdt

[fred31460]

"Ggo" plus haut disait " Par soustraction, on obtient une équation dont on peut extraire la valeur de a ". Il parlait de celles ci: " yB = axB + b " non ?

[gg0]

Si tu connais a, il n'y a plus d'inconnue, donc plus d'équation.

le calcul général (avec xA, yA, xB et yB) donne la formule.
dans ton cas, si tu ignores a (et b), que tu veux le calculer avec A(5,14) et B(3,10), tu as les équations
14=5a+b
10=3a+b
et là tu peux résoudre ...

Mais ce qui est intéressant est le calcul général (avec xA, yA, xB et yB), qui se fait de la même façon (avec xA et Xb différents)

Cordialement.

[bongo1981]

Imagine que je te dise :
- Alfred avait 15 bonbons dans son sachet à 8h30, et à 16h30, il n'en avait plus que 5 (il les a mangés).
- Béatrice avait 15 bonbons dans son sachet à 8h30, et n'en a plus que 7 à 11h30.

Si je te demande qui en a mangé le plus vite qu'est-ce que tu dois répondre ?

Tu fais bien une différence entre le nombre de bonbons qu'il y avait à 8h30 et un peu plus tard pour savoir de quelle quantité cela a varié ?
-10 pour l'un et -8 pour l'autre.

Après le fait de diviser par la durée écoulée permet d'avoir une notion de dynamique.
En 8 heures, Alfred a mangé 10 bonbons, alors que Béatrice a mangé 7 bonbons en 3 heures.

Dont Alfred a mangé 1.25 bonbons par heure, alors que Béatrice en a mangé 2.33 par heure.

Le calcul du coefficient directeur permet de savoir de combien une quantité augmente par unité (qui peut être une durée ou autre chose).
Je ne sais pas si c'est plus clair ?

[Brnn]

Tu peux très bien faire YB-YA / XA-XB comme YA-YB / XA-XB. On t'apprend la 1ère formule pour que ce soit plus simple pour les vecteurs (car tu dois respecté XB-XA et YB-YA pour les formules des vecteurs).

[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu peux très bien faire YB-YA / XA-XB

Pour le coefficient directeur, il y a un problème de signe là-dedans (et aussi un de parenthèses).

Cordialement

[Brnn]

Je ne me suis pas relu ...

(YB-YA) / (XB-XA) ou (YA-YB) / (XA-XB)

[fred31460]

Merci à tous pour vos réponses.

Donc en faite, à "yB" j'enlève l'image "yA" ( que j'avais rajouté ). De même à " xB" j'enlève l'antécédent "xA" ( que j'avais rajouté). Du coup, je retombe à la situation de départ.

[gg0]

Désolé !

Je ne sais pas ce que tu veux dire.

[fred31460]

Bonjour,

Je reprends l'exemple plus haut:

14 = 2 X 5 + 4 yB= axB+b
10 = 2 X 3 + 4 yA= axA+b

Donc, je fais yB-yA/xB-xA 14-10/5-3 = 4/2 = 2

Je connais la formule, mais je n'arrive pas à la comprendre. Je ne vois pas la logique d'enlever yA à yB au numérateur et d'enlever xA à xB au dénominateur, puis de diviser. Je ne vois l'itérer d'apprendre une formule sans la comprendre.

Cordialement.

[gg0]

La logique :
1) C'est le résultat d'un calcul correct, donc c'est une formule valide
2) Il y a une interprétation simple, déjà donnée aux messages #2 et #9(sous une forme imagée) : yB-yA est de combien on monte quand on va de A à B (monter négativement étant descendre), xB-xA est de combien on avance quand on va de A à B; leur quotient est donc la montée moyenne de A à B, la pente, la manière dont la droite monte quand on avance de 1.

Donc non seulement c'est un résultat correct, mais on sait ce qu'il signifie, que veux-tu de plus ? Qu'on dise abracadabra ?
Dans un résultat mathématique, il n'y a généralement rien à "comprendre". (a+b)²=a²+2ab+b² ne dit rien de plus que ce qu'il dit, rien à "comprendre".

[PlaneteF]

Bonjour,

Donc, je fais yB-yA/xB-xA 14-10/5-3

Ces écritures sont fausses, il manque des parenthèses.

Rappel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations

Cdt

[fred31460]

Bonjour,

Merci pour vos explications. Je comprends un peu mieux. En faite, nous sommes obligés de retirer "yA" à "yB", de même au dénominateur nous sommes obligés de retirer "xA" à "xB" pour avoir un triangle rectangle. Grace à la hauteur que l'on divise par la base, cela nous donne la pente moyenne de la droite ( le coté opposé à l'angle droit).

Cordialement.

[fred31460]

Et si je fais yB + yA / xB + xA, c'est la même chose non ? Mon triangle rectangle sera juste plus grand.

14 = 2 X 5 + 4
10 = 2 X 3 + 4

Si je prends mon exemple précédent ( juste au dessus), cela me fait un coefficient directeur de 2. Maintenant si je fais (14 + 10) / (5 + 3), cela vaut 3. Effectivement, je ne retombe pas sur le même coefficient.

[PlaneteF]

Bonjour,

yB + yA / xB + xA

Cf. message#17

Cdt

[fred31460]

Bonjour,

On peut aussi appliquer une autre formule pour retrouver le coefficient directeur d'une fonction affine à l'aide de sa droite.

Soit ma fonction affine f(x)= ax + b.

Je peux prendre la formule de l'inversion d'une loi affine, à savoir yB - b/xb.

Par exemple f(x)= 2x +4. Si xb = 5, cela fait: 2 X 5 + 4 = 14.

Sur mon graphique, je ne connais pas bien sur le valeur de "b", mais je peux la deviner: 14 - b = 10. Ce qui fait 14 - 4 = 10.

10/5 = 2. Je retrouve bien mon coefficient directeur "2".