Bonsoir pourriez vous me donner quelques indications qui me permettront de résoudre cet exercice ( je ne sais pas vraiment comment commencer ) :
Prouver que parmi 5 nombres réels positifs ou nuls donnés, on peut trouver 2 réels a et b tels que:
0 ≤ a/(1+a²) - b/(1-b²) ≤ 1/8.
Comme premier hypothèse on sait que si a et b sont nuls l'inégalité est toujours vrai.
Merci d'avance
Bonjour.
Ton énoncé :est manifestement faux (prendre les 5 nombres entre 0,9999999 et 1,00000001).Prouver que parmi 5 nombres réels positifs ou nuls donnés, on peut trouver 2 réels a et b tels que:
0 ≤ a/(1+a²) - b/(1-b²) ≤ 1/8.
Est-ce une erreur de frappe ? Serait-ce "0 ≤ a/(1+a²) - b/(1+b²) ≤ 1/8" ?
Dans ce cas, une étude de la fonction x-->x/(1+x²) devrait donner quelques idées.
Cordialement.
Bonjour,
Une idée en passant, je n'ai pas vérifié si elle permettait de conclure : écrireet
If your method does not solve the problem, change the problem.
En fait, l'étude suffit, plus le "principe des tiroirs".
Bonjour tu as raison gg0 l'erreur se trouvait dans ma source mais je vais essayer d'utiliser la méthode que vous m'avez proposé. Quant à la méthode de Seirios je ne le comprends pas vraiment, j'aurai bien aimé avoir quelques explications là-dessus.
En fait, il suffit d'ordonner les 5 nombres par images croissantes par la fonction. Pas vraiment besoin des tiroirs.
Désolé mais je ne sais pas vraiment ce que vous voulez que je fasse.
Dernière modification par Gohan. ; 02/12/2015 à 15h37.
Je pense avoir trouver la solution:
Considérons la fonction f(x)= x/(1+ x²) définie sur R+ donc f(x)≥0 on a aussi x/(1+x²)≤ [(1+x²)/2]/(1+x²) = 1/2 donc 0≤f(x)≤1/2. Maintenant considérons les réels a,b,c,d et e on sait que f est croissant car f'(x) = [(x-1)²/(x²+1)]²≥0 donc
0 ≤f(a)<f(b)<f(c)<f(d)<f(e) ≤ 1/2 donc pour une valeur choisie dans l'inégalité c'est à dire ( f(a); f(b);... ou f(e) ) cette valeur supérieure ( inférieur) de celui qu'il suit ( précède) d'au plus de (1/2)/5 soit de 0.1 donc on en conclus que parmi ces 5 réels on peut 2 réels/ 0 ≤ f(a) - f(b) ≤ 1/8 soit 0 ≤ a/(1+a²) - b/(1+b²) ≤ 1/8.
Je sais que même si ce que j'ai fais est bon ça manque un peu de rigueur. Est-ce que quelqu'un pourrez me donner une résolution plus rigoureux? Merci
"on sait que f est croissant car f'(x) = [(x-1)²/(x²+1)]²≥0" Faux !
D'ailleurs, f(0)=0 et la limite en +oo est 0. Manifestement, tu n'as pas étudié la fonction !
Mais en fait, on s'en moque ! Il suffit d'ordonner les f(x), de noter a, b, c, d et e les 5 nombres de façon que f(a)≤f(b)≤f(c)≤f(d)≤f(e). Au passage : ces valeurs peuvent très bien être égales, ce qui ne pose aucun problème.
Pour faire un raisonnement rigoureux, pense que chacune des 4 différences f(b)-f(a), f(c)-f(b), f(d)-f(c) et f(e)-f(d) est supérieure ou égale à la plus petite d'entre elles, et que leur somme est inférieure à 1/2.
Cordialement.
Le raisonnement avec le principe des tiroirs :
Les 5 nombres ont leurs images entre 0 et 1/2; donc chacune est dans un des intervalles [0;1/8], [1/8,1/4], [1/4,3/8], [3/8,1/2] de longueurs 1/8. Deux d'entre elles sont donc dans le même intervalle, distantes de moins de 1/8.
merci j'ai compris
