suites et fonctions

[invitee290a5e0]

Bonjour j'ai du mal avec cette exercice, pouvez-vous m'aider svp?
f(x)=x^5 + nx -1 n un entier naturel non nul et x un réèl

(Un) est solution de l'équation f(x)=0 avec 0≤Un≤(1/n) et Vn=nUn

1) Montrer que (Un) converge et calculer sa limite

2) Montrer que pour tout n entier naturel non nul Vn=1-Un^5

3)Montrer que (Vn) converge et calculer sa limite.

Pas de pbs pour la question 2 et pas de problème pour calculer les limites dans la question 1 et 3. Cependant je ne sais pas comment montrer que (Un) converge et que (Vn) converge, on sait qu'elles sont bornés or une suite bornée ne converge pas forcément, du coup je pense qu'il faut le montrer avec le théorème de la convergence monotone, cependant je ne sais pas comment montrer que (Un ) est croissante ou décroissante. Pouvez-vous m'aider svp?
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[gg0]

Bonsoir.

L'encadrement de Un donné au départ donne facilement la convergence. Et la convergence de Un donne après la question 2 la convergence de Vn.

Si tu ne me comprends pas, révise tes cours sur les limites de suites.

Cordialement.

[invitee290a5e0]

Je ne savais pas si le théorème des gendarmes prouvait l'existence d'un limite pour une suite, car mon prof disait que si on demande de montrer la convergence puis de calculer la limite il faut d'abord montrer que la suite admet une limite finie l que l'on calculera par la suite. Mais maintenant que j'y pense le nom complet du théorème des gendarmes est théorème d'existence d'une limite par encadrement, j'y vois plus clair maintenant merci.