Exercice d'olympiade

[invite544bd044]

Bonjour
J'ai un exercice qui me mets en difficulté
Aidez moi svp

L'exercice :
Que ABCD soit un carré, le point E € [AB] et le point F € [AD] a condition que AE = AF.
Le trait (Δ) qui est parallèle a [AD] et qui passe par le point E, et le trait (J) qui est parallèle a [AB] et qui passe par le point F, font que le carré ABCD soit coupé en 2 carrés et 2 rectangles.
Si la somme des surfaces des 2 carré est égale a 99÷101 de la surface de ABCD, Alors calculs la valeur absolue de (AE÷EB)+(EB÷AE)

(La réponse est un nombre naturel)


Ce que j'ai essayé :
Alors
La surface de ABCD c'est AB^2 or (AE+EB)^2
La surface des des rectangles réuni est 2(AE+EB)^2÷101
Et bien sur AE^2+EB^2 =99(AE+EB)^2 ÷101

C'est tout ce que j'ai pu faire
Pouvez vous m'aider
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

J'ai noté a le côté du carré ABCD et x la longueur AE (et donc AF).
Tu peux exprimer la surface des deux carrés en fonction de x et a. Tu peux faire de même avec la sommes des surfaces des deux rectangles restants.
Tu sais également le rapport de ces deux surfaces par rapport à celle du carré ABCD.

Maintenant, tu exprimes l'expression à calculer en fonction de a et x et tu devrais très vite trouver ton bonheur...

Cordialement,
Duke.

[invite544bd044]

Bonsoir
Merci pour ta réponse
Mais je n'ai pas encore trouvé la solution
Je suis parvenu a tiré le a=202 (dis moi si je me trompe)
Ensuite en remplaçant le a dans l'équation de la surface de ABCD
J'arrive au fait que x^2-202x=-404
Maintenant je bloque
Comment faire maintenant
Stp
Merci d'avance

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je n'ai pas de valeurs numériques pour a ou x...
Je n'ai travaillé qu'avec les expressions littérales qui se simplifient plutôt bien pour arriver à l'expression recherchée et à sa valeur.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite544bd044]

Re bonjour
Je m'excuse pour la faute flagrante
a=/=202 (erreur de calcul)
Donc
Je tourne en rond sans trouver de solutions
La somme des surfaces des 2 carrés est 2x^2 +a^2 -2ax
La somme des surfaces des 2 rectangles est 2ax -2x^2
Quand a l'expression que je doit trouvé en nombre naturel
Est (a^2)÷(ax-x)

[ansset]

j'aurais procédé autrement.
en plaçant d'abord un carré de rectangle 1
et donc un x compris entre 0 et 1
avec donc
somme des carrés = x²+(1-x)²
somme des rectangles = 2x(1-x)
et
AE/EB-EB/A2=x/(1-x) -(1-x)/x
=(2x-1)/(x(1-x))
ensuite faire intervenir a.

[invite544bd044]

Re bonjour
Ansset que veux tu pretendre en disant un carré de rectangle 1
Et d'ou as tu déterminé que x et compris entre 0 et 1

Ps : je dois trouver AE÷EB +EB÷AE
Non pas une soustraction
Merci d'avance

[Resartus]

Quel est votre niveau d'étude? Si vous n'avez pas encore vu comment manipuler des formules avec des inconnues, cela va être beaucoup plus dur à expliquer.
Comme le résultat doit être indépendant du coté du carré, on peut aussi bien considérer qu'il vaut 1, plutôt que de traîner des a partout.
Et ensuite, on pose x la longueur de AE. Donc x peut varier entre 0 et 1

[ansset]

d'abord pardon pour la soustraction
donc qcq soit a je raisonne d'abord en X/a = x <=1
d'où
x/(1-x) +(1-x)/x
= (2x²+2x+1)/(x(1-x))

[invite544bd044]

Bonjour
Ansset
J'ai compris ton raisonnement qui me mène au fait
Que (AE÷EB)+(EB÷AE) = (2x^2-2x+1)÷(x-x^2)
Mais ça mène a quoi ?
Je c'est que la somme des surfaces des 2carre est 2x^2-2x+1 = 99÷101
Donc x-x^2 = 1÷101 ( dis moi si je me trompe)

Est ce que AE÷EB+EB÷AE= (99÷101)÷(1÷101)
Donc le résultat est 99
Est ce que c'est ça ?

[ansset]

oups,
je ne sais pas encore, en fait j'ai parcouru le sujet très brièvement.
je pensais juste qu'il était moins lourd d'écrire au départ avec x=X/A , histoire d'avoir une formulation plus simple.
mais comme a est diff de 1. ce n'est pas la même equation.
il faut bien y revenir.
désolé, je n'ai pas poursuivi.
peut être tout à l'heure.

[invite544bd044]

oups,
je ne sais pas encore, en fait j'ai parcouru le sujet très brièvement.
je pensais juste qu'il était moins lourd d'écrire au départ avec x=X/A , histoire d'avoir une formulation plus simple.
mais comme a est diff de 1. ce n'est pas la même equation.
il faut bien y revenir.
désolé, je n'ai pas poursuivi.
peut être tout à l'heure.

Au contraire
Que a=1 ou 2 ou 3
Ça ne change rien
J'ai calculé l'équation en laisson a comme lettre et non comme chiffre numérique
Et j'ai trouvé 99
Tu m'as mis dans la bonne direction
Mais j'aimerais bien svoir si c'est la bonne réponse ou si je suis a côté de la plaque

[ansset]

c'est possible,
encore une fois , j'ai parcouru cela très vite.
je vais vérifier , promis.
Cordialement

[invite1c10934d]

Bonjour,

En posant :
a le côté du grand carré (=AB)
x=AE
(AE/EB)+(EB/AE)=(x/(a-x))+((a-x)/x)=(x²+(a-x)²)/(x(a-x))
On reconnaît :
- au numérateur la somme des aires des deux petits carrés (99/101*a²)
- au dénominateur l'aire d'un petit rectangle (2/101*a²/2)

=99


Donc pas besoin de figer a (faisable,mais il faut justifier par le caractère homothétique) ou de résoudre une équation du second degré.

A+

[invite544bd044]

Merci pour la confirmation
Merci a tout le monde pour m'avoir aider