Suites

[invite9bb4bf6d]

Bonjour

J'ai besoin d'aide pour cet exercice..

Soit (Un) la suite définie sur N par: U0=7/6 et U1=11/6 et U(n+2) =4U(n+1) + 5Un

1) Calculer U2, et U3
Je trouve U2= 79/6 et U3=371/6

2) Soit a réel et (Vn) la suite définie par: Vn=Un+1+aUn
J'ai réussi

a) Démontrer que pour tout entier n, Vn+1=(4+a)Un+1+5Un

J'ai réussi également

b) Montrer que le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité si seulement si a est solution de l'équation (E): a²+4a-5=0

le tableau:

4+a 5
1 a

J'ai expliqué avec la quatrième proportionnelle.

c )
Résoudre l'équation (E)
Je trouve S={-5; 1 }

d ) Montrer que si a est solution de (E) alors la suite (Vn) est géométrique. Donner l'expression de Vn en fonction de n.

Je bloque à cette question..

3. Déduire du 2. que pour tout entier n:

{Un+1+Un=3*5(racine carré de n)
{Un+1-5Un= -4(-1)(racine carré de n)



4. En déduire l'expression de Un en fonction de n



Merci à vous si vous pouvez m'éclairer un peu !
-----

[pallas]

tu sais que v(n) = u(n+1)+a u(n) et v(n+1) = (4+a) u(n+1) +5u(n)

Il suffit de remplacer a par les valeurs trouvées d'abord par la premiere valeur et la conclusion s'impose
de même par la seconde valeur et c'est aussi evident

[invite9bb4bf6d]

Donc je remplace a par -5?
Vn+1=(4-5)Un+1+5Un= -1Un+1+5Un?

[PlaneteF]

Bonjour,

Donc je remplace a par -5?

N'oublie pas qu'il y a 2 cas à considérer :

Je trouve S={-5; 1 }

Sinon,

Donc je remplace a par -5?
Vn+1=(4-5)Un+1+5Un= -1Un+1+5Un?

A remplacer aussi dans :

2) Soit a réel et (Vn) la suite définie par: Vn=Un+1+aUn

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9bb4bf6d]

Si je remplace a par 1
Vn=Un+1+1Un?
et si je remplace a par -5
Vn=Un+1-5Un

J'ai l'impression de mélanger toutes les formules, et de ce fait je n'arrive pas à développer correctement le calcul

Merci de votre aide

[PlaneteF]

Si je remplace a par 1
Vn=Un+1+1Un?
et si je remplace a par -5
Vn=Un+1-5Un

Il s'agit bien évidemment de 2 cas à traiter séparément.

Cdt

[invite9bb4bf6d]

Et le début est-il correct?
Pourriez-vous m'éclairer sur la voie à prendre, je ne demande pas à la réponse, seulement si on peut me guider?
Merci

[PlaneteF]

2) Soit a réel et (Vn) la suite définie par: Vn=Un+1+aUn
J'ai réussi

a) Démontrer que pour tout entier n, Vn+1=(4+a)Un+1+5Un

Ben tu traites les 2 cas de manière séparée :

1er cas :

Par définition, pour tout , , ce qui te donne

De plus tu as démontré dans la question 2)a) que pour tout , , ce qui te donne

A partir de là, dans ce cas, il est maintenant trivial de montrer que la suite est géométrique.


Ensuite tu traites de la même façon le cas où .


Cdt

[invite51d17075]

pardon la question est bien "si et seulement si".
il ne suffit pas de montrer que ça marche pour -5 et 1 !
il faut montrer que ce ne sont que les deux seuls cas possibles.

et donc peut être prendre la démo un peu différemment.
partir de V(n+1)=kV(n) et refaire apparaitre l'équation du second degré.

[PlaneteF]

pardon la question est bien "si et seulement si".

Tu parles de quelle question ?

Cdt

[invite9bb4bf6d]

Il n'y a pas de "si et seulement si"?


Pour a = -5
j'obtiens, Vn+1=(4-5)Un+1+5Un

[invite51d17075]

effectivement,
la question était déjà posée avant.
parcouru trop vite.
mess à oublier.

[PlaneteF]

Pour a = -5
j'obtiens, Vn+1=(4-5)Un+1+5Un

As-tu au moins fini de traiter le cas ?

Cdt

[invite51d17075]

mon pb est que pour aboutir à l'équation du second degré j'ai :
si V(n+1)=kV(n)
une double équation:
4+a=k et
5=ak
qui donne l'équation du second degré dont 1 et -5 sont solutions.
du coup on en déduit immédiatement k en fonction de a .

[invite9bb4bf6d]

Pour la double équation,
si 5=ak
k=a/5
Donc Vn+1=5/a Vn?

[invite51d17075]

ben c'est ce que je trouve sans passer par chaque résolution en fonction de a.
sauf si tu es arrivé à ton équation du second degré par un moyen que j'ignore.
ou même si, cela peut en être aussi une déduction directe.

[invite51d17075]

d ) Montrer que si a est solution de (E) alors la suite (Vn) est géométrique. Donner l'expression de Vn en fonction de n.
!

je suis au départ simplement parti de là.
en écrivant V(n+1) = (4+a)U(n+1)+5U(n)
et
V(n)=U(n+1)+aU(n)
et donc si V(n+1)=kV(n)
en identifiant les deux termes en U(n+1) et en U(n)
si a est solution alors on peut vérifier qu'il satisfait aussi
4+a=k et
5=ak ( dont les solutions sont celles de l'équation )

[invite9bb4bf6d]

Merci pour votre aide!

[invite9bb4bf6d]

Et pour le reste des questions comment je dois procéder?
Je remplace encore a par 1 et -5?

[invite51d17075]

. Donner l'expression de Vn en fonction de n.

cette question là est très facile.
et il a deux cas effectivement à considérer.

[invite9bb4bf6d]

Donc Vn+1=5/a * Vn

[invite51d17075]

oui, à toi de poursuivre.

[invite51d17075]

{Un+1+Un=3*5(racine carré de n)
{Un+1-5Un= -4(-1)(racine carré de n)

ça par contre, c'est faux.
erreur de recopie d'énoncé ?

[invite51d17075]

non, non,
j'ai dit une grosse bétise.
il ne faut garder que k=4+a.
et oublier l'autre.
je me suis mélangé.

[invite9bb4bf6d]

Donc mon énoncé est correct?
je dois poursuivre avec k=4+a? et non k=5/a?

[invite51d17075]

oui, j'ai une boulette bien plus haut et je suis resté dessus.
en gros les couples de solutions sont
a=1 => k=5
a=-5 => k=-1
connaissant k on en déduit Vn en fct de n ( Vo est connu ) pour chaque cas.
par contre les 2 dernières équations sont fausses, il n'y a pas de rac(n)
sur ce point l'énoncé n'est pas correct à la fin..

[invite9bb4bf6d]

Ah oui il s'agit bien d'une erreur de frappe, je ne m'en suis pas rendue compte désolée!
Il ne s'agit pas de "racine carré de n" mais de n comme exposant
{Un+1+Un=3*5(exposant n)
{Un+1-5Un= -4(-1)(exposant n)

[invite51d17075]

ps:
a=1 => k=5
a=-5 => k=-1
il faut quand même le démontrer, mais c'est facile.

[invite9bb4bf6d]

D'accord merci, je dois partir de Un ou de Vn?

[invite51d17075]

d'abord bien montrer, ce que j'ai mal fait que
si a=1, alors k=5 V(n+1)=5V(n)
si a=-5 alors k=-1
en repartant des deux expressions V(n+1) et V(n)

ensuite si V(n+1)=kV(n) en déduire V(n) en fct de n et de V0 , suite géométrique.
pour les 2 cas .

et finir avec les deux dernière équations en montrant qu'elle sont juste pour les deux couples (a,k)