le paradox de la flèche

[NeoNavy]

Bonjour,
J'ai une question qui me trotte dans la tête depuis que j'ai apprit la méthode de calcule de la diminution des radiations dans le temps (on ne sait pas calculer quand un élément radioactif ne le sera plus, mais on sait calculer quand il aura perdu la moité de sa radioactivité, puis la moitié de cette moitié, puis la moitié de cette moitié, etc...):
Si on tire une flèche, elle parcourt la moitié de la distance entre nous et la cible, puis la moité de cette moitié, puis la moitié de cette moité, etc... selon cette "méthode de calcule" elle ne devrait jamais toucher la cible (de la même façon qu'un élément radioactif ne pourra jamais être totalement inerte), alors pourquoi la flèche touche la cible?!
-----

[Deedee81]

Salut,

L'erreur est là :

selon cette "méthode de calcule" elle ne devrait jamais toucher la cible

Cette conclusion fait l'hypothèse (abusive) que la somme des durées de chaque étape est infinie. Or c'est faux. Il y a convergence vers une durée finie.

A l'époque de Zenon le raisonnement semblait paradoxal (et entraina une crise en philosophie) car ils ne connaissaient pas assez les mathématiques et ignoraient qu'une telle convergence finie (d'une série infinie) était possible.

Pour l'élément radioactif, c'est différent car il y a un nombre fini d'atomes, les dernières étapes ne seront plus vraiment des "moitiés" (ça devient irrégulier à cause du caractère aléatoire de la désintégration) et tous les atomes finissent pas se désintégrer. Dans le cas de la flèche, on suppose l'espace-temps continu (c'est une hypothèse en physique mais conforme à l'expérience, et en mathématique on peut poser les hypothèses qu'on veut).

Voir aussi les articles Wikipedia. Il y en a quelque uns sur ces sujets.

[NeoNavy]

Bonjour,
Merci pour la réponse, mais je ne suis pas certain de l'avoir vraiment compris... ;-(

[invite82078308]

Voir aussi les articles Wikipedia. Il y en a quelque uns sur ces sujets.

Voir en particulier les paradoxes de Zénon.

La difficulté vient de la notion d'infini: la distance entre l'archer et la cible est finie, et pourtant il y a une infinité de lieux entre l'archer et la cible !
Il faut donc avoir des méthodes permettant de traiter pertinemment ces notions de fini et d'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef29758b5]

Salut
Le paradoxe de la flèche vient du fait qu' on prend des intervalles de temps qui diminuent de plus en plus et tendent vers zéro .
C' est comme si on projetait le film en diminuant de plus en plus la vitesse au point d' avoir une image presque fixe .
Dans le cas de la radio activité , on prend des intervalles de temps égaux .

[Deedee81]

Salut,

Merci pour la réponse, mais je ne suis pas certain de l'avoir vraiment compris... ;-(

Tu peux préciser là où j'ai manqué de clarté ou bien ce que je devrais mieux expliquer ?
Ou la réponse de Dynamix est suffisante ?

[NeoNavy]

C'est bon, j'ai compris la réponse de Dynamix, je n'avais pas intégré le fait que non seulement la distance entre la flèche et la cible diminuait, mais que le temps aussi diminuait tout autant!
Merci pour vos réponses, c'est super sympa d'avoir prit le temps de me répondre