Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3

[Gohan.]

Bonsoir j'aurai bien besoin d'un peu d'aide pour terminer mon exercice je peux plus avancer voilà:
On se propose de résoudre l'équation: ax³+bx²+cx+d=0, a≠0
1. Soit x=X+h. Déterminer h pour que l'équation obtenue soit du type X³+pX+q.(1).
2. Démontrer que cos³θ=1/4(cos3θ+3cosθ).
3. Pour résoudre l'équation (1), soit X=rcosθ.
Déterminer r pour que l'équation obtenue soit du type αcos3θ=β.
Achever la résolution lorsque 4p³+27q²≤0.

Voilà mes réponses:
1.C'est fait et je trouve h=-b/(3a).
2. Pas de difficultés
3. C'est ici que je bloque un peu en fait après avoir remplacé X j'obtient l'équation:
1/4 r³cos3θ + (3/4 r²+c/a - b²/3a²) rcosθ + 2b³/27a³ - bc/3a² + d/a=0.
Je conclus ainsi que cette équation ne peut être de la forme αcos3θ=β que si
(3/4 r²+c/a - b²/3a²)r = 0 *
*<=> r=0 ou 3/4 r²+c/a - b²/3a²=0 et comme r est non nul car dans ce cas on aurait X=0.
donc *<=> 3/4 r²=- c/a + b²/3a²
*<=> r²= 4/(9a²) [b²-3ac] et si b²-3ac≥0 alors
*<=> r= ± 2/(3∣a∣) √(b²-3ac) j'obtient 2 valeur de r et je ne sais pas quelle la bonne???
Merci de votre aide.
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[invite51d17075]

sans avoir vérifié tous tes calculs, les deux semblent valables.
mais tu dois pouvoir prendre r>=0
ce qui ne change rien à X , mais correspond juste à un autre théta.
Cdt

[Gohan.]

Bonsoir, je voulais savoir s'il n'est pas nécessaire de poser une autre condition sur les réels a,b,c et d pour déterminer r car comme je sais que mon équation doit être de la forme α cosθ = β donc β/α≤1 ( en fait je l'ai essayé mais j'obtiens pas grand chose c'est pourquoi je vous demande votre avis) mais en suivant votre conseil j'ai prie
r= 2/(3∣a∣) √(b²-3ac) = √[4/3(b²/3a²-c/a)] ainsi par identification j'obtiendrai:
α=1/4[√4/3(b²/3a² - c/a)]=1/4[√(-4/3 p)]³ et β= -(2b³/27a³+d/a-bc/a²) = -q.
j'ai donc 1/4[√(-4/3 p)]³cos3θ = -q en élevant le tout au carré je trouve que
<=>4/9 p³ (cos3θ)² = q²
<=>(cos3θ)²= 1/3 × 27q²/4p² or on sait que 4p³+27q²≤0 => 4p³/27q²≤-1<0
donc on a 27q²/4p³<0 => 1/3 × 27q²/4p²<0 => (cos3θ)²<0 impossible donc j'en conclus que si 4p³+27q²≤0 alors l'équation n'admet pas de solution.
J'ai essayé encore de trouver une relation beaucoup plus explicite sur les coefficients a,b,c et d à partir de 4p³+27q²≤0 mais je trouve à la fin un développement trop encombrant mais je pense bien que ma conclusion est bonne(???). Merci de m'aider