Equation chute avec frottements

[invite57ba469d]

Bonjour,
Je connais la formule de la distance parcourue en chute libre dans le champs de la gravitation terrestre : 1/2 * g * t ^ 2
a) Question 1 : peut-on dire qu'il s'agit déjà d'une équation différentielle ?
b) Question 2 : je cherchce à calculer la vitesse maximal lors d'un saut avant ouverture du parachute
J'ai trouvé des équations différentielles faisant intervenir la fonction exp et découlant sur racine de mg sur k, k représentant le coefficient de résistance de l'air.
N'y a-t-il pas une méthode plus progressive et parlante mettant en relation la formule exprimant la force de pesanteur et celle exprimant la portance ?

Merci d'avance
Philippe
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[gg0]

Bonjour.

a) Non. ce n'est même pas une équation (une équation est une égalité portant sur des lettres dont l'une au moins est l'inconnue; ici, pas de =) encore moins une équation différentielle (pas de dérivée de la fonction inconnue).
b) Il y a des modélisations, pas très concluante (un parachutiste, c'est compliqué, mou, donc les effets de la résistance de l'air sont multiples) mais l'expérience des parachutistes donne une vitesse de l'ordre de 200 km/h. A proximité du sol, car à grande altitude, les vitesses sont plus fortes (un parachutiste a même dépassé la vitesse du son au sol).

Je ne sais pas quel est ton but, mais il y a des problèmes d'équations différentielles moins "tordus".

Cordialement.

[invite57ba469d]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Je cherche à trouver des exemples concrets d'équations différentielles et de leur solution, pour bien comprendre ce que c'est.

Je suis tombé sur des exemples d'évolution de populations, mais c'est trop théorique pour moi.

Philippe

[gg0]

Bonjour.

"pour bien comprendre ce que c'est".
Il n'y a aucun mystère, une équation différentielle est une équation (égalité+inconnue) dont l'inconnue est une fonction, et dans laquelle la fonction inconnue apparaît par une ou plusieurs de des dérivées. Très souvent, la variable de la fonction est aussi présente.
y étant la fonction inconnue, fonction de x, quelques exemples :
y'=2y
y"+w²y=0
y'=2ln(x)
y"+4y'+4y=exp(-2x)

En général une équation différentielle a une infinité de solutions (fonctions par lesquelles on peut remplacer l'inconnue pour rendre l'égalité vraie. par exemple y'=2y a pour solutions toutes les fonctions de la forme y=k.exp(2x), où k est n'importe quelle constante réelle. Des "conditions initiales" (portant sur les valeurs de l'inconnue ou de ses dérivées pour des valeurs de x) permettent de restreindre le noimbre des solutions cherchées. par exemple, toujours pour y'=2y, avec la condition initiale, pour x=0, y=2, il n'y a plus qu'une seule solution : y=2exp(2x).

Pour des exemples d'utilisation, prendre n'importe quel cours de physique de L1, aussi bien en mécanique qu'en électricité.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57ba469d]

Merci !

Donc si je prendre mon exemple 1/2 * g * t ^ 2
a) L'équation différentielle serait f''(t) = g avec f'(t)=0
b) La solution serait f(t)= 1/2 * g * t ^ 2

C'est bien cela ?

Philippe

[gg0]

Tu devrais lire ce que tu écris !

"L'équation différentielle serait f''(t) = g avec f'(t)=0" Si f'(t)=0, par dérivation on obtient f"(t)=0, pas g.

l'équation différentielle f"(t)=g avec les conditions initiales f(x)=0 et f'(0)=0 donne comme unique solution f(t)=1/2 gt².
Les connaissances de terminale (primitives) suffisent à trouver que les solutions de f"(t)=g sont toutes les fonctions f(t)=1/2 gt²+at+b où a et b sont deux constantes : de (f'(t)'=g on déduit f'(t)=gt+a, puis on prend les primitives de f'.

[invitef29758b5]

Salut

N'y a-t-il pas une méthode plus progressive et parlante mettant en relation la formule exprimant la force de pesanteur et celle exprimant la portance ?

A vitesse maxi les forces sont en équilibre .
C' est donc un simple problème de statique.

[invite57ba469d]

Merci à tous les deux.

C'est vrai que mon f'(t)=0... !!

[invite2e218215]

Même s'il faut bien vérifier les conditions en zéro, l'idée est bien là.

La formule z(t)= 1/2 g t^2 est une réponse toute faite, que l'on dira "formule pour ingénieur".

Cette formule découle de l'équation m a(t) = m g qui est la traduction du principe fondamental de la dynamique dans le cas où le corps est soumis uniquement à la gravité (sans portance). Sur ce cas particulier, on simplifie évidemment en a(t)=g

Le principe fondamental se pose sur l'accélération, qui est une différentielle double de la position, ici : a(t) = z"(t). Pour une variable position, le principe fondamental de la dynamique sera toujours a-priori une équation différentielle d'ordre 2.


En intégrant a(t)=g, on obtient z(t)=1/2 g t^2 + z'(0) t + z(0). On se rend compte que la formule "pour ingénieur" correspond en fait au cas particulier où la vitesse initiale z'(0) est nulle et la position est définie par rapport à l'instant initial, soit : z(0)=0. C'est pourquoi il faut bien vérifier les conditions de validité d'une formule "pour ingénieur".

[invitef29758b5]

Sur ce cas particulier, on simplifie évidemment en a(t)=g

Peu importe que l' accélération soit égale à g .
Ce qui est important du point de vue de l' équation différentielle , c' est a(t) = constante

[invite2e218215]

Evidemment, mais c'est uniquement une histoire de point de vue.

Le physicien écrit z"(t) = g. Le mathématicien comprend f"(t) = constante.

Or, dans un problème physique, on conserve l'écriture des variables physiques. Au mieux, on écrit : z"(t)=g est un problème du type mathématique f"(t)= constante.


Au sujet de la question initiale, je crois que c'est la vitesse avant ouverture du parachute. Il suffit de connaître v(t) et la date d'ouverture du parachute.

[gg0]

Cotissois31,

n'importe quel parachutiste sait vite que sa vitesse ne dépend pas seulement de son temps de chute (vitesse au départ nulle) mais surtout de son comportement. C'est d'ailleurs ce qu'utilisent les fana du haut vol, quand ils font des figures en chute libre.

Les physiciens ont des modèles simples pour des situations très particulières. mais aucun n'est capable de modéliser sérieusement la chute d'une feuille de papier lâchée horizontalement.

Cordialement.

[invite57ba469d]

Bonjour,

Merci pour toutes ces réponses.

Concernant la question de Cotissois31

"Au sujet de la question initiale, je crois que c'est la vitesse avant ouverture du parachute"

oui c'est bien cela.

Je cherchais :

a) à mettre en relation et

b) A savoir (uniquement en terme d'ordre de grandeur) quelle valeur cohérente on peut retenir pour :
- dans le cas d'une personne se mettant dans la position maximisant les frottements,
- dans le cas d'une personne se mettant dans la position minimisant les frottements.

Philippe