équation à 4 inconnues

[inviteb714a4d7]

Depuis quatre jours je cherche à résoudre sans succès le système suivant :
(a+b+c)*d = 420
(a+c+d)*b = 403
(a+b+d)*c = 363
(b+c+d)*a = 228

a,b,c,d sont quatre entiers naturels
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[invite7d367980]

http://www.wolframalpha.com/input/?i...2Bd)*a+%3D+228

[inviteb714a4d7]

Par quelle démarche mathématiques, avez vous trouvé ces résultats. Merci d'avance.

[Kairn]

Tu peux peut-être restreindre tes recherches en prenant b dans les diviseurs de 403 (il en a pas beaucoup).
Par exemple tu fais l'hypothèse b = 1 (1 divise bien 403, tout va bien), et tu obtiens :

(a+1+c)d = 420
a+c+d = 403
(a+1+d)c = 363
(b+c+1)a = 228

Tu peux par exemple isoler c = 403-a-d puis le reporter dans la première équation : ceci éliminera a, et tu auras une équation avec d pour seule inconnue, que tu résous. Si tu obtiens une solution entière, tu continues ; sinon tu élimines l'hypothèse b = 1 et tu passes à b = n avec n un diviseur de 403.

C'est une proposition de recherche. Ça peut marcher parce que 403 a pas beaucoup de diviseurs (j'en ai trouvé 4 positifs). Dans un cadre plus général, faudrait sûrement trouver autre chose ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

dans la même veine ( car le 1 est assez improbable)
403=13*31
si on choisi b=13, alors a+c+d=31
la dernière donne
(13+31-a)a=228 ( eq du second degré )
2 solutions entières , dont une à éliminer.....etc
si on abouti pas on revient un pas en arrière.

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sol ( 6;13;14;11)

[invite51d17075]

correction : faute de frappe.

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sol ( 6;13;11;14)

une manière de valider un résultat obtenu est de vérifier qu'il divise bien le nombre de l'équation ou il est en facteur.

[invite51d17075]

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sol ( 6;13;11;14)

une manière de valider un résultat obtenu est de vérifier qu'il divise bien le nombre de l'équation ou il est en facteur.