Besoin d'aide pour un ivrogne qui traverse un pont sans garde-corps

[invite67d912b8]

J'ai un travail de groupe en maths (je suis en seconde) que l'on doit préparer pour le prochain cours (ce n'est pas un DM, ni noté),j'ai plusieurs pistes mais je ne suis pas sûr de mes résultats.

Le sujet du devoir est celui-ci :

Un ivrogne sort d'un bar et doit traverser un pont sans garde-corps de 5 pas de long et 2 de large. Aléatoirement, l'homme se déplace soit 1 pas devant lui, en diagonale vers la gauche (un pas à gauche, un pas devant) ou en diagonale vers la droite (un pas à droite, un pas vers l'avant). En sachant que lorsqu'il se tient sur le bord du pont il ne tombe pas, il faut qu'il refasse un pas vers le côté vers l'eau pour tomber. Quel est la probabilité qui arrive à l'autre bout du pont ?

J'ai donc décidé d'imaginer le problème à l'intérieur d'un repère, en imaginant que la largeur du pont est entre 1 et -1 sur l'axe des ordonnées et la longueur entre 0 et 5 sur l'axe des abscisses.

J'ai déjà fait une simulation en Python, avec 1 million de tests j'obtiens le pourcentage de chute dans une intervalle de [59,2 ; 59,3] et donc un pourcentage d'arrivée de l'autre côté dans une intervalle de [40,6 ; 40,7]

Est-ce-que vous pourriez m'aider en m'expliquant afin que je comprenne (c'est le but au final ^^)
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[invited3a27037]

bonsoir

Il y a 3^5=243 trajectoires possibles.

Avec un programme informatique, on peut passer en revue toutes ces trajectoires et déterminer celles qui conduisent à une chute. On en déduit la probabilité exacte de franchir le pont.

[invite3498e9a5]

3^5 si le départ et sur une case du pont, mais 3^6 s'il on place le départ avant le pont (mais en face du pont quand même )

[invite75a796c1]

Salut,

en reprenant le système de coordonnées de Looper, et en partant de (0,0) , on trouve un cycle de 2 pas.

(0,0) -> (-1,1) puis de là soit à (0,2) soit dans l'eau
de l'autre côté
(0,0) -> (1,1) puis de là soit à (0,2) soit dans l'eau

Et de là, changement d'ordonnée et rebelote. Soit donc un cycle de 2 pas.

La première étape est sans risque. A la 2me étape il y a eu 2 fois 2 options équiprobables , soit 1/2 pour le pas-plongeon

On note un nombre impair de pas de long. Le dernier est une demie période sans risque de plongeon.

A partir de là, c'est facile de calculer la proba du pas-plongeon, soit 1/2 ² = 1/4

On peut l'aborder autrement aussi ... Mais je ne trouve pas les ratios de Looper.

@fregoli : un pas avant augmenterait le risque , ça ferait un pont de 3 périodes. Il vaudrait mieux démarrer du milieu

Bon, quand une simulation donne d'autres résultats, c'est que je me trompe. Looper, pourriez vous montrer la partie simulation de votre code dans un spoiler ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Je trouve 40,74% de chance d'arriver au bout du pont (en 5 étapes), en utilisant deux suites (probabilité d'être au centre et probabilité d'être sur un bord).

[invite3498e9a5]

Mon petit calcul à moi:

Si on considère le pont comme indiqué (5 X 2 cases) et qu'on démarre au milieu du pont.
Le premier pas fait qu'on se trouve soit sur la case de droite, soit sur la case de gauche.
Ensuite, le problème est symétrique que l'on soit à gauche ou à droite du pont.

Si on est sur une des deux cases N°5, on est sauvé quelque soit la direction que l'on prend.
Si on se trouve sur l'avant dernière case (case 4), on a 1/3 de chance de faire le pas du mauvais coté(à gauche si on est sur la case de gauche, et à droite si on est sur la case de droite), et 2/3 sur passer sur une des deux cases n°5.
Si on se trouve sur une n°3, on a de même 2/3 de se trouver sur une n°4 et 1/3 de se trouver dans l'eau.

Au final, comme sur la case de départ zéro, on se trouve de sur une des 2 N°1, au final, on a une probabilité de (2/3 ^4 ) *2 de passer de l'autre coté (* 2 car le problème et les calculs faits sont sur 1/2 pont).

Soit 39,5% de chance d'arriver de l'autre coté, où encore 60,5% de chance de tomber.

[invited3a27037]

bonjour

Tiens ce vieux message ressort.

Je ne comprends rien à ton explication fregoli, tu dis "Le premier pas fait qu'on se trouve soit sur la case de droite, soit sur la case de gauche". Non il y a TROIS possibilités, sur le bord droit, au centre ou sur le bord gauche.

J'ai utilisé la méthode de Médiat et je trouve également 40.74% de chance de traverser le pont sans tomber à l'eau

[Médiat]

Bonjour,

Au final, comme sur la case de départ zéro, on se trouve de sur une des 2 N°1, au final, on a une probabilité de (2/3 ^4 ) *2 de passer de l'autre coté (* 2 car le problème et les calculs faits sont sur 1/2 pont).

Si je comprend bien votre formule, la probabilité d'être sur le pont après n mouvements est de (2/3^(n-1))*2, ce qui est trivialement faux pour n=0 ou 1.

Et attention, il n'y a pas 3^5 trajectoires (une fois dans l'eau l'ivrogne n'avance plus sur le pont).

[invite3498e9a5]

Le pont n'a que deux cases de large, et l'ivrogne se trouve au milieu d'une case , soit celle de droite, soit celle de gauche, jamais entre deux cases.
Au départ, il démarre sur une des deux.

Si on considère que l'ivrogne peut se trouver juste entre les deux cases au départ, alors le problème devrait indiquer que le pont possède 3 cases de large, et qu'il démarre sur celle du milieu.

[invite3498e9a5]

Bonjour,

Si je comprend bien votre formule, la probabilité d'être sur le pont après n mouvements est de (2/3^(n-1))*2, ce qui est trivialement faux pour n=0 ou 1.
.

Si n=0, il n'y a plus de pont, alors c'est sur qu'il ne tombera pas, et si n=1, alors le pont n'a qu'une case de long, alors il ne tombera jamais non plus ...

C'est trivial ...

[Médiat]

Si n=0, il n'y a plus de pont, alors c'est sur qu'il ne tombera pas, et si n=1, alors le pont n'a qu'une case de long, alors il ne tombera jamais non plus ...

C'est trivial ...

Donc votre formule ne marche pas !

[invite3498e9a5]

Il faut garder le domaine de définition du problème en tête, sinon ... on peut dire n'importe quoi.
pas de pont, pas de chute.
Si le pont ne fait qu'une case de long, pas de chute non plus.

le raisonnement que j'ai fait porte sur des hypothèses bien précises:
Le pont existe, il a les dimensions suivantes: 2 cases de large, 5 de long, et l'ivrogne commence sur une des deux cases du pont. Il avance devant ou sur un coté en diagonal, avec une probabilité égale.

Si mon raisonnement est erroné avec les hypothèses indiquées respectées, ce que je veux bien admettre, merci de m'indiquer.
Le calcul fonctionne avec un pont de n cases de long, pour n > 1, car si n=0 ou 1 alors le problème n'existe plus.

[invited3a27037]

@frigoli: relis le message initial. Il n'y a pas 2 possibilités de déplacement (tu dis 2 cases) mais 3

- Tout droit
- en diagonale vers la droite
- en diagonale vers la gauche

[invite3498e9a5]

On peut aussi modifier légèrement la modélisation:

L'ivrogne commence au milieu du pont, et avance soit en diagonal, soit devant, le pont a toujours 5 cases de long, mais 3 cases de coté.

S'il est au milieu, il est sûr de ne pas tomber au pas suivant,
mais s'il est sur un coté, il a 1/3 de tomber, de chaque coté.
Au final, quelque soit la case où il se trouve, il a 2/9 de tomber au pas suivant.
AU premier pas, il ne tombera pas car il se situe au milieu (donc pas la peine d'extrapoler ultérieurement la formule finale avec n=0 ou 1 car ce n'est pas dans le domaine de définition).

La probabilité finale de tomber sera donc

1. au 2eme pas (si il est sauf, il sera à la 2eme case de longueur) : 2/9 * (7/9) +
2. au 3eme pas : 2/9 * (1 - 7/9) +
3. au 4eme pas : 2/9 * (1 - 2/9 * (1 - 7/9)) +
4. au 5eme pas (il est encore sur le pont): 2/9 * (1 - (1 - 2/9 * (1 - 7/9))) +
5. au 6eme pas (il sera sur la terre ferme, sauf si ...) 2/9 * (1 - 2/9 * (1 - (1 - 2/9 * (1 - 7/9)))) = 0,385

La probabilité de traverser sans encombre sera dans ce cas de 0,615.

Suivant les hypothèses de départ et la modélisation, le résultat sera fatalement différent ...

[invite3498e9a5]

@frigoli: relis le message initial. Il n'y a pas 2 possibilités de déplacement (tu dis 2 cases) mais 3

- Tout droit
- en diagonale vers la droite
- en diagonale vers la gauche

Relis ce que j'ai dis :
Si on se trouve sur l'avant dernière case (case 4), on a 1/3 de chance de faire le pas du mauvais coté(à gauche si on est sur la case de gauche, et à droite si on est sur la case de droite), et 2/3 sur passer sur une des deux cases n°5

Je prends bien 3 cas pour avancer.

[invite3498e9a5]

Avec la modélisation à 3 cases de large, le résultat est en fait de 71,5% de chance de tomber, et donc 28,5% de chance de traverser.

[invite3498e9a5]

Pour préciser un peu plus clairement:

A chaque pas, la probabilité de tomber, est égale à 2/9 * probabilité de ne pas être tombé au pas précédent.

On a donc la formule de récurrence suivante pour calculer la probabilité d'arriver à la case n

P(pas arriver, n) = 2/9 * p(arriver,n-1)
P(arriver, n) = 1 - P(pas arriver, n)

avec p(arriver, 1) = 1
p (pas arriver, 1) = 0

[Médiat]

A chaque pas, la probabilité de tomber, est égale à 2/9 * probabilité de ne pas être tombé au pas précédent.

Je ne vois pas d'où cela sort ...

En tout état de cause votre suite P(arriver, n) tend vers 82%, ce qui est manifestement faux (plus l'ivrogne avance, et plus il a de chances de tomber !)

[invite3498e9a5]

[QUOTE=Médiat;5596717]Je ne vois pas d'où cela sort ...

votre suite P(arriver, n) tend vers 82%,/QUOTE]

Non pas du tout. J'arrive à 29,5% chance de passer 6 pas.

L'objection plus évidente aurait été de dire que 2/9 n'est pas la bonne probabilité à prendre à chaque pas, car les probabilités de se trouver au milieu, à droite où à gauche au pas n ne sont pas les mêmes.

Alors je vais reprendre la formulation avec plus d'exactitude:

Soit P(M,n) la probabilité d'être au milieu du pont au pas n
P(G,n) et P(D,n) respectivement celle d'être sur le bord droit et d'être sur le bord gauche gauche (on n'est pas encore tombé).
P(Ok,n) probabilité de se trouver encore sur le pont au pas n

Je ne vais même pas prendre la facilité de simplifier en remarquant que P(D,n) = P(G,n), le problème étant symétrique.

Les conditions initiales sont les suivantes:
P(M,0)=1
P(D,0) = P(G,0) = 0
P(Ok, n) = P(D,n) + P(M,n) + P(D,n)

On a les relations suivantes:

P(tombe,n) = 1/3 * (P(G,n-1) + P(D,n-1)) - c'est la probabilité pour qu'il tombe au nième pas, pas celle d'être dans l'état tombé au nième pas
P(G,n) = 1/3 * (P(G,n-1) + P(M,n-1)) - probabilité de se retrouver sur le bord G
P(D,n) = 1/3 * P(D,n-1) + P(M,n-1)) - bord droit
P(M,n) = 1/3 * (P(M,n-1) + P(D,n-1) + P(G,n-1)) - au milieu

P(OK,n) = 1/3 * ((2 * P(G,n)) + (3 * P(M,n)) + (2 * P(D,n)))
Pour 5 pas on trouve:

P(OK) = 0,4074 (résultat identique aux vôtres)
P(Tombé)=0,5926

[invite75a796c1]

Salut,

mettons nous bien d'accord sur la position de départ et les suivantes possibles.

L'énoncé laissait entendre qu'il y a a 3 positions sur une ligne et que l'ivrogne commence en (0,0) c'est à dire au milieu de la première ligne.

Ou alors, il faut en faire des paramètres de la question pour répondre à tous les cas ...

En partant de (0,0) pour atteindre (x,5) qui sera d'ailleurs toujours ( 0,5) , une simu ( mentale et triviale ) donne 1/4 de survivants après 4 pas , le dernier pas étant sans risque puisque commençant en abscisse 0.

S'il démarre en y = -1 pour atteindre dès la ligne 0 une position -1 ou 1 , c'est ramener le cas précédent à 6 pas et donc à 3 périodes de 1/2 chacune, soit 1/2 ^3.

S'il peut aussi démarrer en (-1,-1) et ( 1,-1) et atteindre ainsi (0,0) , il y aura 2/3 du dernier cas et 1/3 du premier , soit : 2/3 x 1/8 + 1/3 x 1/4 = 1/6

J'aimerais bien comprendre où est l'erreur, sachant que le barman a veillé à ce qu'il démarre en (0,0). On peut le croire, c'est un ancien arbitre de foot et mon partenaire aux concours de sincérité ...

Exercice intéressant pour ceux qui voudront faire des stats mais pas seulement. Nombreuses applis en chimie et en physique.

Trois autres variantes intéressantes :
- 1 , l'ivrogne peut décider de ne rien faire
- 2 , l'ivrogne peut aller tout droit
- 3, l'ivrogne peut revenir en arrière

[Médiat]

On a les relations suivantes:

Ce qui n'a rien à voir avec vos résultats précédents (donc bien faux, les précédents) !

Quant à votre suite précédente P(arriver, n) elle donne :
1
0,777777778
0,827160494
0,816186557
0,818625210
0,818083287

[invite3498e9a5]

Une erreur de copie:

Les valeurs que j'obtiens pour ne pas tomber sont
0,777777778
0,604938272
0,470507545
0,365950312
0,284628021


avec les relations de récurrence:

P(tombé, n) = P(tombé,n-1) + p(arrive,n-1) * 2/9
P(arrive,n) = 1 - p(tombe,n)

P(arrive,1)=1
P(tombe,1)=0

[Médiat]

P(arrive,1)=1
P(tombe,1)=0

P(tombe, 2) = p(arrive,1) * 2/9 = 0.22222
P(arrive,2) = 1 - p(tombe,2) = 0.77778

P(tombe, 3) = p(arrive,2) * 2/9 = 0,172839506
P(arrive,3) = 1 - p(tombe,3) = 0,827160494

P(tombe, 4) = p(arrive,3) * 2/9 = 0,183813443
P(arrive, 4) = 1 - p(tombe,4) = 0,816186557

P(tombe, 5) = p(arrive,4) * 2/9 = 0,18137479
P(arrive, 5) = 1 - p(tombe,5) = 0,81862521

[EDIT]C'est vrai qu'en changeant votre post, on se rend compte que c'est vous qui vous être planté et pas moi qui me suis trompé dans ma formule (celle de votre post #17).

Cette récurrence étant toujours fausse !

[invite3498e9a5]

Pour voir quand il démarre sur un coté, il suffit de changer les conditions initiales.
Dans ce cas, la probabilité de traverser en 5 pas en partant d'un bord du pont que j'obtiens est de 0,2880. (donc 0,712 de tomber en cours de route)

[invite3498e9a5]

P(arrive,1)=1
P(tombe,1)=0

P(tombe, 2) = p(arrive,1) * 2/9 = 0.22222
P(arrive,2) = 1 - p(tombe,2) = 0.77778

P(tombe, 3) = p(arrive,2) * 2/9 = 0,172839506
P(arrive,3) = 1 - p(tombe,3) = 0,827160494

P(tombe, 4) = p(arrive,3) * 2/9 = 0,183813443
P(arrive, 4) = 1 - p(tombe,4) = 0,816186557

P(tombe, 5) = p(arrive,4) * 2/9 = 0,18137479
P(arrive, 5) = 1 - p(tombe,5) = 0,81862521

Il y avait une erreur de copie:

P(tombé, n) = P(tombé,n-1) + p(arrive,n-1) * 2/9

[invite3498e9a5]

@Mediat : tu as lu ça:

Il y avait une erreur de copie:

P(tombé, n) = P(tombé,n-1) + p(arrive,n-1) * 2/9

*** La critique de la modération se fait par MP ***

[Médiat]

Vous savez très bien que vous avez modifié votre message a posteriori, d'ailleurs votre formule que j'ai utilisée est toujours dans le message #17, et de toutes façons votre dernière formule est toujours fausse, d'ailleurs vous n'avez pas esquissé la moindre démonstration !

[invite3498e9a5]

Je reprends, car je suis beaucoup plus modéré que vous cher modérateur.

Oui, il m'arrive, assez souvent je le reconnais, de faire des erreurs de frappe et de recopie, sans doute parce que je le fais trop vite, et donc, il n'est pas rare que je reprenne mon post, et comme de plus, je fais aussi plusieurs erreurs, la correction que j'y apporte ne corrige pas tout d'une seule fois.

Ceci étant dit, je reprends, avec l'erreur portant sur les 2/9, la "démonstration" demandée.

<demonstration>
Je serai dans l'état tombé à l'étape n si et seulement si

1. je suis dans l'état tombé à l'état n-1
2. je ne suis pas dans l'état tombé à l'état n-1 mais que je vais dans une direction qui me fait tomber
3. je suis dans l'état pas tombé à l'étape n, si ... je ne suis pas dans l'état tombé à l'étape n

</demonstration>

Si quelque chose vous choque dans ce raisonnement, ou vous semble faux, merci de me le dire.

Donc:
<formulation>

P(Tombé,n) signifie: être dans l'état tombé à l'étape n, ce qui ne veut pas dire qu'on tombe à l'étape n, on peut avoir tombé AVANT.
P(pas tombé,n) signifie que on est dans l'état pas tombé à l'étape n, et donc en particulier, qu'on n'est pas déjà tombé avant.

P(Tombé,n) = P(Tombé, n-1) + 2/9 (P (pas tombé, n-1))
Et P(pas tombé,n) = 1 - P(tombé,n)

Conditions initiales:
P(Tombé,1)=0
P(Tas tombé,1)=1
</formulation>

ce qui est, il me semble, la formule indiquée après les corrections de mes oublis.

Après relecture, il ne me semble pas avoir fait d'oubli ou avoir de correction à apporter, je posterai donc ce post sans autres correction antérieures, postérieures, ou autres.

[Médiat]

Oui, il m'arrive, assez souvent je le reconnais, de faire des erreurs de frappe et de recopie, sans doute parce que je le fais trop vite, et donc, il n'est pas rare que je reprenne mon post, et comme de plus, je fais aussi plusieurs erreurs, la correction que j'y apporte ne corrige pas tout d'une seule fois.

Il vous arrive aussi d'accuser les autres de s'être trompé dans l'application d'une formule, alors que c'est vous qui vous étiez trompé dans la formule !

P(Tombé,n) = P(Tombé, n-1) + 2/9 (P (pas tombé, n-1))

D'où vient ce 2/9 ? Cela ne vous choque pas que considériez égales les probabilité de tomber quand l'ivrogne est au centre et quand il est sur un bord ?

[invite3498e9a5]

D'où vient ce 2/9 ? Cela ne vous choque pas que considériez égales les probabilité de tomber quand l'ivrogne est au centre et quand il est sur un bord ?

Faudrait lire ce que les gens écrivent :

voir mon post #19 cher ami, où j'indique justement que la vraie critique de mon raisonnement aurait du porter sur ces 2/9, ainsi que mon dernier poste où j'indique clairement "reprendre la démonstration avec l'erreur des 2/9".

La formulation exacte étant celle indiqué dans ce post #19.