Calcul de primitive

[inviteedbdad7d]

Bonjour a tous

Lors de mon examen aujourd’hui j'ai eu le malheur de tomber sur ça



Quelqu'un aurait-il une solution svp ?

Merci d'avance
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[invitef804d494]

Bonjour,
On ne peut ouvrir le fichier.
Tape le sujet au clavier si tu veux qu'on puisse t'aider.

[inviteedbdad7d]

Ah je suis désolé , c'est juste une petite image , en tout cas pour moi ça s'affiche très bien

Bon du coup voici l’intégrale :

(x^4)/((x^4)+2(x^3)-(x^2)-2)

Merci pour votre aide

[gg0]

Bonjour.

la technique est classique : décomposition en éléments simples. Par division, tu vas obtenir

Où P est un polynôme de degré 3. Ensuite tu factorises (4 facteurs du premier degré), puis tu emploies les méthodes habituelles, ici celle des pôles simples.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef804d494]

D'accord alors tu sais que
x⁴= x⁴-2x³+x²-2+2x³-x²+2.
Je te laisse devinez la suite ..

[inviteedbdad7d]

Merci beaucoup pour vos réponses

alors c'est exactement ce que j'ai tenté mais je me retrouve bloquer par la suite , au point de penser qu'il y a erreur sur l'exercice
donc la suite c'est (-2(x^3)+(x^2)+2)/((x^4)+2(x^3)-(x^2)-2) +1

[invitef804d494]

Tu inverses tout les signes je ne comprend pas ce que tu fais ..

[inviteedbdad7d]

ben c'est (x^4)-((x^4)+2(x^3)-(x^2)-2)/((x^4)+2(x^3)-(x^2)-2) +1 , on soustrait le dénominateur et on ajoute un 1

ce n'est pas ça ?

[invitef804d494]

Mais le dénominateur c'est x⁴-2x³+2x²-2 . Pourquoi tu mets +2x³ et -x² ?

[inviteedbdad7d]

non le dénominateur c'est bien (x^4)+2(x^3)-(x^2)-2 , c'est gg0 qui a fait une faute de frappe je pense

[invitef804d494]

D'accord désolé alors tu obtiens :
1 + -2x³+x²+2 / x⁴+2x³-x²-2.
Et par la suite tu as normalement appris à intégrer une fraction rationnelle ..

[inviteedbdad7d]

Oui bien sur , mais dans ce cas la je vois pas ce qu'il y a faire , a part peut être de décomposer la fraction et d'identifier par la suite les constantes mais je refuse de croire que c'est ce qu'il faut faire surtout durant un examen , les calculs seront beaucoup trop longs

[invitef804d494]

Si tu entends par là que 5 minutes c'est trop long dans ce cas là oui mais sinon les seuls autres moyens que je voie sont ceux que j'utilise en maths sup donc je ne pense pas que ce soit ce qu'il soit demandé ...
Tu as juste à décomposer en éléments simples après avoir factorisé le dénominateur. Et une fois cela fait, trouver les constantes comme tu l'as dit. Ensuite tu sais intégrer sans oublier le x que tu auras devant qui correspond au 1 !

[inviteedbdad7d]

Je doute vraiment que c'est un calcul de 5 minutes , je sais bien que sur le papier ça parait très élémentaire comme calcul (décomposer , trouver les constantes ...) mais une fois dedans on se rends compte que c'est compliqué comme calcul.

[gg0]

Avec l'énoncé que tu as écrit au message #2, la factorisation est élémentaire, le calcul est un peu long à la main, mais se fait tranquillement.
Avec , la situation change, même s'il y a une racine évidente, il y a un polynôme de degré 3 à factoriser !

On ne voit toujours pas ta pièce jointe, mais je parie sur une erreur de copie (de l'auteur).

Cordialement.

[inviteedbdad7d]

Ça a toujours été question de \int \frac{x^{^4}}{x^{^4}+2x^{^3}-x^{^2}-2}dx je n'ai rien changé , malheureusement c'est pas une erreur c'est bel est bien la bonne formule
Le polynôme au dénominateur a 2 racines réelles : 1 et -1-\frac{\sqrt[3]{9-\sqrt{78}}}{3^{^{\frac{2}{3}}} }-\frac{1}{\sqrt[3]{3\left(9-\sqrt{78}\right)}}
Mais même avec ça , les calculs après ne seront pas du tout évidents

Merci beaucoup pour vos réponses en tout cas

[invite102b12a0]

Par simple curiosité quel était ton examen ?

Désolé de ne pas apporter de réponse

[inviteedbdad7d]

Examen de maths 2 (je suis en L1) , y avait du DL , des matrices et des intégrales

PS : désolé pour le message en haut j'ai oublié les balises pour le LaTex si un modo passe par la merci de le corriger

[gg0]

Pour un exam de L1, je parie sur l'erreur de frappe du prof : un -x² à la place d'un +x² qui rend la factorisation facile (x²+x)²-2 se factorise comme différence de deux carrés; et on obtient 2 facteurs simples et un trinôme sans racines réelles.


Cordialement