Démonstration droites parallèles

[invite949a348a]

Bonjour,

Comment démontrer (sens direct et sens indirect) la propriété : "Deux droites d'équations respectives y =ax + b et y = a'x + b' sont parallèles si et seulement si a = a ' " ?

Merci pour votre aide
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[pm42]

Tu as essayé quoi ? Par exemple, de regarder si tu peux trouver un point d'intersection ?

[invite949a348a]

J'ai essayé ça :

Si deux droites d'équations respectives y =ax + b et y = a'x + b' sont parallèles, alors elles n'ont pas de point d'intersection, et donc le système
y=ax+b
y=a'x + b'
est sans solution, mais je ne parviens pas à aboutir...

[pm42]

Normal, ça c'est des affirmations. Essaie de trouver le point d'intersection et tu n'as pas besoin du système, c'est plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Si les deux droites ont même coefficient directeur, alors la première droite a pour équation y=ax+b et la deuxième y=ax+b'.
Un point d'intersection vérifie alors ax+b = ax+b' c'est-à-dire b=b'. Soit c'est vrai, et dans ce cas les deux droites sont les mêmes (confondues), soit c'est toujours faux et il n'y a pas de point d'intersection,c'est-à-dire que les droites sont parallèles.

C'est bien ça ?

Et pour l'autre sens ?

[pm42]

Pour l'autre sens, tu résouds de la même façon avec a différent de a'.

[invite949a348a]

Par contraposée donc. Si a est différent de a' alors un point d'intersection vérifie ax+b=a'x+b' d'où x=(b'-b)/(a-a'), qui est bien défini car a est différent de a'.

On peut aussi calculer l'ordonnée de ce point, mais peu importe.

On a donc montré que si a est différent de a' alors les droites sont sécantes (en un unique point). La contraposée dit donc que si les droites sont parallèles, a=a'.

C'est juste ?

Edit : je pense que ça aurait été plus "joli" pour le premier sens (#5) de supposer b différent de b' (en ayant bien dit que si b=b', les droites sont confondues)

[pm42]

Oui, c'est juste.
Pour le coté joli, c'est anecdotique comparé au fait d'avoir trouvé et rédigé rigoureusement.

[invite949a348a]

Ok, merci beaucoup