Construction des fontions avec la dérivée

[fred31460]

Bonjour,

Si je prends la fonction f(x)=x2, peut t'on à partir de la pente à la tangente en chaque point de ma courbe retrouver l'expression de ma fonction et en créer une ?

Merci.
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[ansset]

"pente à la tangente." ?
je suppose que tu parle de la dérivée tout simplement.
alors tu peux , par intégration, retrouver ta fonction ....... mais à une constante près.
sauf si tu connais la valeur en un point ( 0 par exemple ).

si j'ai bien compris.

[fred31460]

Pente à la courbe pardons . Je voulais dire, pente de la tangente.

Avec une primitive, par exemple la primitive de la fonction polynôme, cela signifie que la fonction F a pour coefficient directeur de la tangente à sa courbe ax2 + bx + c.

Merci.

[ansset]

Pente à la courbe pardons . Je voulais dire, pente de la tangente.

Avec une primitive, par exemple la primitive de la fonction polynôme, cela signifie que la fonction F a pour coefficient directeur de la tangente à sa courbe ax2 + bx + c.

Merci.

tu n'es pas clair du tout.
du parles maintenant d'UN polynome au sens large puis d'un coefficient directeur ecrit sous la forme d'un polynôme de degré 2. !!??
dans le premier post tu parlais de la fonction F(x)=x².
si je reviens à ton premier post.
F(x)=x².
tu ne connais que sa courbe et tu vois que le coefficient directeur en chaque x est proportionnel à x.
c'est normal car la dérivée de F(x)=x² est F'(x)=2x.
en intégrant F' on obtient les primitives Fc(x)=x²+c
si ta courbe initiale passe par (0;0) alors ta courbe correspond bien à la fonction F(x)=x².

mais je ne comprend pas ce que tu dis dans ton second message.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

peut être veux tu généraliser ce cas pour tout type de polynôme de degré 2, en mesurant les pentes à différents points, afin d'en déduire ce polynôme inital.

[fred31460]

Désolé, je ne suis pas clair en effet.

En faite, si je prends un polynôme du second degré, ax2 + bx + c, comment à partir de tangente à la courbe on peut retrouver son expression ?

Je veux dire que dan ax2 + bx + c, pour avoir la construction de ce polynôme là, on n'est parti d'abord d'une fonction affine "bx + c" avec "c" qui passe par les coordonnés (0,c), puis, on n'a "b" le coefficient directeur de la droite, à cela on n'a ajouter "ax2", mais ce "ax2" justement, je n'arrive pas à voir ce qu'il représenterait en "tangente", parce que pour voir la construction du polynome du 2nd degré, j'arrive mieux à visualiser par des "tangentes".

Donc en gros, comment à partir de la constante "c" on n'est arrivé à ax2 + bx + c ?

Merci.

[ansset]

Désolé, je ne suis pas clair en effet.

En faite, si je prends un polynôme du second degré, ax2 + bx + c, comment à partir de tangente à la courbe on peut retrouver son expression ?

OK, je comprend.
par contre ça et le reste c'est faux: ( sauf pour c )

Je veux dire que dan ax2 + bx + c, pour avoir la construction de ce polynôme là, on n'est parti d'abord d'une fonction affine "bx + c" avec "c" qui passe par les coordonnés (0,c), puis, on n'a "b" le coefficient directeur de la droite,......

si ta fonction est
F(x)=ax²+bx+c alors
oui, la courbe passe par le point (0,c) donc on obtient c.
ensuite sa dérivée, c-a-d la pente à la courbe est
2ax+b
donc en prenant qcq points x, tu dois obtenir une droite du type
F'(x)=a'x+b' et en déduire les valeurs initiales.
a=a'/2
b=b'

[fred31460]

Merci à toi .

Et pour le ax2 ?

[ansset]

Merci à toi .

Et pour le ax2 ?

je suppose que tu veux dire F(x)=ax² ?
c'est un cas particulier du cas général vu plus haut.
sa dérivée est 2ax, donc les valeurs de la tangente suivent cette courbe F'(x)=2ax.

[fred31460]

Ok, merci.

Donc la construction d'un polynome de degré 2, peut se voir comme cela: On applique les dérivées et primitives à chaque point, on les relies, et cela nous donne un polynome de degré 2.

[ansset]

On applique les dérivées et primitives à chaque point, on les relies, et cela nous donne un polynome de degré 2.

que veux tu dire ?
je pensais que ton exercice consistait à retrouver l'équation de ton polynôme de degré 2 à partir des mesures des tangentes..., en ayant le tracé de la courbe à disposition.
donc il ne s'agissait pas de le "construire" !!

pour la construction ( dessin de la courbe ) il y a aussi d'autres manières de "construire" approximativement un polynôme de degré 2.

la question est donc,
est ce que tu pars d'une courbe dont tu doit déduired qcq chose,
ou bien est ce l'inverse ?

[fred31460]

Désolé, je me suis mal fait comprendre.

Comment on construit tout simplement la courbe d'un polynôme ? Les différentes méthodes en gros. J'étais parti sur la dérivée car je pensais que c'était grave à elle qu'on pouvait construite un polynôme. Parce qu'au départ on part d'une constante c, on ajoute bx, puis ax2, mais j'arrive mieux à visualiser la construction avec des tangentes. C'est le fait que le x2 puisse faire perdre la caractère de droite du polynome, vu qu"il devient une courbe, et là, j'arrive pas à visualiser alors j'étais parti sur des tangentes.

[fred31460]

Parce que aax + bx + c, cela reste une droite, donc aax + bx + c on peut l'écrire a2x + bx + c.

Mais quand le x passe au carré, on n'a plus une droite. C'est qui fait transformer le tout en une courbe, pourtant, je ne vois ce que cela change. Le a2x cela reste une droite, mais le ax2 ca devient une courbe....

[ansset]

oulala !
attention aux écritures.
depuis le début, on parle de polynôme du second degré.
il me semble normal de supposer que tu écris ax2 ( de manière maladroite ) au lieu de ax² ( avec un x au carré ).

par ailleurs, si tu écris aax , alors c'est a²x ( le a est au carré ).
une écriture du type a2x est à proscrire car on ne sait pas si tu mets le a au carré ou si le 2 est un multiplicateur.

[fred31460]

Oui désolé.

Pourquoi f(x)=ax au carré forme une courbe, tandis que f(x)= a au carré fois x donne une droite ?

[fred31460]

C'est vrai que l'apparition de plusieurs fois "x" dans le polynôme me perturbe.

Si sur l'axe des ordonnée j'ai le nombre de mètre que parcours un insecte et sur l'axe des abscisses le temps, et que cela suit une loi du style 2x au carré + 4x + 6, cela signifie que, Y, cet à dire que le nombre de mètre que parcours l'insecte en fonction du temps, "varie 4x fois", mais aussi "2x au carré de fois ".

C'est pas facile à visualiser avec plusieurs fois x les relations de Y en fonction de x dans un polynome de degré 2.

[ansset]

C'est vrai que l'apparition de plusieurs fois "x" dans le polynôme me perturbe.

Si sur l'axe des ordonnée j'ai le nombre de mètre que parcours un insecte et sur l'axe des abscisses le temps, et que cela suit une loi du style 2x au carré + 4x + 6

encore imprécis dans l'écriture , je suppose que c'est le x qui est au carré et pas le 2x !
dans le premier cas c'est 2x², dans l'autre 4x²....

cela signifie que, Y, cet à dire que le nombre de mètre que parcours l'insecte en fonction du temps, "varie 4x fois", mais aussi "2x au carré de fois ".
C'est pas facile à visualiser avec plusieurs fois x les relations de Y en fonction de x dans un polynome de degré 2.

le "4x fois" est une partie du polynome.
si tu le dérive ( le polynome ) , il devient 4x²+4, et donc à t=0 , la vitesse de l'insecte n'est pas nulle. ( départ lancé ! )
"2x au carré de fois" est encore très mal écrit et ambigu.

commence par écrire proprement.
pour le carré , tu as la touche ² en haut à gauche , ou alors tu utilises la touche ^.

pour la visualisation, tu peux prendre une analogie avec une accélération.
( ce qui correspond à ton insecte )
il va de plus en plus vite, et sa vitesse augmente de manière régulière.
au final, la trajectoire qui correspond a sa distance parcourue est une courbe croissante.

[fred31460]

Merci ansset.

C'est dur à expliquer ce que je veux dire. J'ai y=ax² + bx + c, si je reprends mon exemple, "x" est le temps, pourquoi "b" multiplie cette variable x, de même que "a" multiplie x² ?. Quel est l'intérêt que la distante est fonction du temps x: bx mais aussi ax² ?

[fred31460]

En faite, la distance parcourue en fonction du temps elle vaut: at² + bt + c, c'est un peu bizarre de répéter le temps, de faire une décomposition de somme.

Je devrais le voir comme cela: ax² + c = bx; ax² + bx = c; bx + c = ax²

[fred31460]

Voilà, j'ai enfin mieux trouver comment te formuler ce que je cherche.

Alors, on étudie la distance d d'une coccinelle en fonction du temps t. Je fais un tableau, avec sur ma première ligne les "x" et ma seconde ligne les "y". Je note le résultat de y quand je prends x1, x2, x3 etc... Ensuite, je prends un repère, je place les points que je vais relier: Cela me donne une courbe ( une hyperbole mais sans savoir au début que c'est un polynôme).

A partir de la, je vais devoir trouver l'expression de ma courbe à partir des informations que j'ai pu constater. Comment ont-ils fait ? On sait l'expression de notre trinôme de 2nd degré, mais comment ont-ils réussis à trouver 3 coefficients constants ( a,b et c) qui multiplie x², l'autre x et un autre qui reste constant ? Pas facile, il fait une sacrée logique à retrouver l'expression de 3 monômes avec 3 coefficients constants à partir simplement des x et y.

[ansset]

.
Je devrais le voir comme cela: ax² + c = bx; ax² + bx = c; bx + c = ax²

ça c'est faux.

et oui , dans ton exemple x correspond au temps et y à la distance parcourue.
donc si tu préfères , tu peux le lire :
d=at²+bt+c
à t=0 d=c , c'est le point de départ de ta coccinelle.
la dérivée de ta distance, qui est aussi la pente de ta courbe vaut 2at+b
la dérivée de la distance est la vitesse.
donc à t=0 , la pente de la courbe donne b directement qui est donc la vitesse initiale.
enfin pour chaque abcisse t_i, tu peux mesurer la pente soit la valeur p_i qui vaut ax_i +b.
l'ensemble des points de coordonnées (x_i,p_i) sont donc normalement sur une droite.
celle-ci te donne à la fois a et b , si b n'a pas pu être mesuré avec la pente en t=0.

[fred31460]

Abscisse t_i ? p_i ? Désolé j'ai pas compris

[ansset]

c'est ce que tu as écris sous la forme x1,x2......
que j'ai appelé t_1,t_2, puisqu'on faisais le parallèle avec le temps.
si tu préfères , remplaces mes t_i par des xi , soit différents x.
( i étant un indice, c-a-d qu'il vaut 1,2... en fonction des différents points )
et les p_i par des pi=axi+p (p1=ax1+b, etc.... )
les p étant les pentes mesurées à chaque point x )

[fred31460]

Merci à toi pour tes explications. Donc grâce à cela, on peut retrouver l'expression du polynôme de degré 2.

D'ailleurs, il y a une technique qui consiste (quand c'est possible) à factoriser pour retrouver l'expression du polynôme de degré 2. La forme de cette factorisation ressemble à celle étudier en seconde pour les fonctions affines. Donc il y a bien un lien entre fonction affine, dérivée et expression du polynôme de degré 2.

[fred31460]

En faite, sachant que la dérivée du polynome de degré 2 est 2ax + b, le but est revenir en arrière, de partir de 2ax + b pour avoir ax² + bx + c.

[ansset]

c'est exactement ça, depuis le début.
cordialement.

[fred31460]

Merci à toi . C'est vrai qu'au départ c'est pas facile de faire le lien. C'est sur que quand x et y sont proportionnel, cela a été facile de déterminer que l'expression était ax (fonction linéaire), ou quand x est multiplié par lui même donné f(x)= x², mais pour les polynômes de degré 2, grâce à la fonction affine (son coefficient directeur), en la plaçant en plusieurs points de la courbe tracée, on peut déterminer sa dérivée et donc en revenant en arrière trouver l'expression du polynôme qui est ax² + bx + c.

Merci