Equation cartésienne d'un plan

[invite949a348a]

Bonjour,

Une équation cartésienne d'un plan de l'espace est de la forme ax+by+cz+d=0 avec a, b et c non simultanément nuls.
Je me pose deux questions :
1)si un des nombres a,b ou c est nul, a-t-on toujours un plan?

2) Comment faire avec un système d'équations pour déterminer les différents cas possibles d'intersection (ou non) entre droite et plan (on est dans l'espace
)?
Je veux bien le détail pour cette question si c'est possible...je connais les équations cartesiennes et paramétriques pour droites et plans, vous pouvez utiliser ces outils pour m'expliquer
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[zenxbear]

1/ bien sûr. pourquoi pas?

d'ailleurs en 2d, l’équation d'une droite est ax+by=c. Si a ou b est nul, mais pas les 2 en même temps, ca reste toujours une droite, non?
repasse en 3d et imagine à quoi ressemble un plan P d’équation ax+by+cz+d=0, si un des coefficients, par exemple a=0.

2/
reprends en 2d: si j'ai 2 droites, dans le plan, d’équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0. leur intersection était la solution du système
composé de 2 equations linéaires à 2 inconnues.
ax+by+c=0
a'x+b'y+c'=0

cas 1:une droite si les 2 droites étaient identiques. donc les 2 équations sont équivalentes (l'une est multiple de l'autre).
cas 2: vide si les 2 droites était parallèles mais non confondues. dans ce cas le système était équivalent à
ax+by+c=0
ax+by+c''=0
mais . Donc pas de solution.
Cas 3: les droites n'étaient pas parallèles. L'intersection était alors un point. solution du système.

reviens en 3d. tu as 2 plans d’équation
ax+by+cz+d=0
a'x+b'y+c'z+d'=0

Cas 1: plans sont confondus. l'intersection est un plan. ici les 2 équations sont multiples l'une de l'autre.
Cas 2: plans parallèles mais non confondus. l'intersection est vide. Ici seul les coefficients a, b c sont proportionnels aux coefficients a', b', c'.
donc le système ressemble à un truc du genre:
ax+by+cz+d=0
ax+by+cz+d''=0
mais

Cas 3: les plans ne sont pas parallèles. l'intersection est une droite représentée par les 2 équations:
ax+by+cz+d=0
a'x+b'y+c'z+d'=0
c'est un système linéaire de 2 équations à 3 inconnues. et a',b',c' ne sont pas proportionnels à a, b et c. Pour trouver la représentation paramétrique il faut choisir un paramètre, et résoudre les inconnues en fonction de ce paramètre.

termine ton cours. Il y a des produits scalaire qui clarifie tout ca.

[invite949a348a]

Merci!

1)pour la 1), si j'ai deux des trois qui sont nuls, ca reste toujours un plan aussi?

2)je te remercie, mais je demandais pour un plan et une droite de l'espace, pas deux plans :/
Du coup j'imagine que pour un plan et une droite on a un systeme de 3 équations du type ax+by+cz+d=0?

[zenxbear]

1/oui. écris un cas la et regarde.

2/oh, oui. oups. c'est effectivement un grand système de 3 équation linéaire à 3 inconnues.

géométriquement, si la droite est perpendiculaire au vecteur (a,b,c) elle est parallèle au plan.
cas 1: si elle est parallèle et dans le plan, alors l'intersection est la droite elle-même (en gros le système de 3 equations à 1 équation qui est combinaison des 2 autres).

cas 2: si elle est parallèle mais pas dans le plan. l'intersection est vide.

cas 3: sinon, t'as une solution unique. faut regarder ton cours sur comment résoudre ces systèmes. Ca dépend de ton niveau.
en gros pour un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues x et y tu utilises une des équations, la 1 par exemple, pour avoir l'expression de x en fonction de y (ou l'inverse). et tu l'injectes dans l’équation 2 pour trouver une équation affine en fonction de y.

pour un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues x,y et z. tu utilise une des équations, la 1ere par exemple pour avoir l'expression de x en fonction de y ET z. Et tu l'injectes dans les équations 2 et 3 pour trouver un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues... que tu sais résoudre par la méthode 1.

souvent on ne se dérange pas à chercher si la droite est parallèle au plan ou pas. la résolution du système fait apparaître s'il a une solution unique, aucune solution, ou si on a une infinité de solution ( et donc c'est une droite).
parfois la définition cartésienne d'une droite te suggère des choses...

prend un cas au pif et regarde. essaye avec une représentation paramétrique d'une droite et une autre avec une représentation cartésienne.

[A voir en vidéo sur Futura]