Minimum d'un polynome de degré 2

[fred31460]

Bonjour,

Pourquoi un polynôme de degré 2 admet -b/(2a) comme axe de symétrie et donc comme minimum ? La dérivée f'(x) vaut effectivement f'(x)=2ax +b, donc 2ax +b = 0, cela donne x= -b/(2a) comme racine qui l'annule. Mais en classe de seconde, on nous dit déjà que l'axe de symétrie vaut "-b(2a)" alors que la dérivation n'est pas au programme.

Je voulais savoir comment comprendre ce "-b(2a)" sans avoir passer par la dérivée mais juste avec cette histoire symétrie et de racine x1 + x2/ 2 etc... Parce qu'on seconde, comment peut t'on comprendre que -b/(2a) est l'axe de symétrie sans avoir vu la dérivée ? On peut bien le comprendre par la relation "symétrique" et la relation entre les coefficients ?

Je vous remercie, cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

-b/2a est l'abscisse d'un minimum seulement si a>0; si a>0, on aura un maximum. Ce calcul te donne la clé du problème

On voit bien que pour a>0, le minimum sera atteint lorsque la partie variable (avec x), le carré, sera minimal, donc nul.

Cordialement.

NB : C'est bien un calcul de niveau seconde.

[fred31460]

Merci à vous gg0 pour votre réponse.

En faite, je vois pas le rapport entre la forme canonique et le 2ax + b = 0. Je veux dire, je sais que c'est -b(2a) l'axe de symétrie si a sup. à 0, donc quand je reviens arrière, je retombe sur 2ax + b, mais je vois pas pourquoi ça vaut 2ax + b. Il est évidement, semble t'il, que cela soit un problème de symétrie, mais je n'arrive pas à voir.

Cordialement.

[choom]

Bonjour. Je ne suis pas certain d'avoir saisi ce qui te turlupine. Essai :
As-tu visualisé la courbe sur un plan avec axes ?
En en dessinant quelques exemplaires avec quelques points, on voit aisément que quel que soient a, b ou c,
elle donne toujours la "même forme" : juste un peu soit déplacée à gauche, à droite, ou bien en fonction de c un peu plus haut ou plus bas, soit un peu plus "resserrée" si a grandit, mais en fait toutes ces paraboles pourraient être construites par déplacement et/ou rotation de 180° et/ou en zoom/recul d'une projection de n'importe laquelle d'entre elles.
Elles ont toutes une symétrie verticale gauche droite et il saute aux yeux au premier coup d'oeil que l'axe de cette symétrie passe par leur minima ou le cas échéant leur maxima.
Que ce minima/maxima correspond à l'endroit ou la courbe devient, l'espace d'un instant, parallèle à l'axe des x
est exactement la traduction visuelle de dire que c'est l'endroit où sa dérivée s'annule, puisque comme tu le verras plus tard , la dérivée quantifie la "pente" de la courbe, ou plutôt, d'une tangente imaginaire à la courbe en chaque point x considéré. À l'endroit du minima/maxima la pente de la tangente y est nulle.
Bien cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Sinon, pour le minimum/maximum sans dérivée :

ax²+bx+c = a ( (x+b/(2a) )² + c - b²/(4a²) )

Or (x+b/(2a) )² + c - b²/(4a²) est la somme d'un nombre positif (x+b/(2a) )² avec une constante c - b²/(4a²), donc c'est minimal quand (x+b/(2a) )²=0 d'ou le résultat

[fred31460]

Merci pour vos réponses.

Je me suis mal fait comprendre, le 2ax + b représente quoi sur le graphique ? Ou est t'il situé ? (sans entrer dans la dérivée). Pourquoi cela vaut "2ax + b" ? Merci à vous et désolé de vous embêtez.

Cordialement.

[Kairn]

Salut !

Ça me parait compliqué de parler du 2ax+b sans parler de la dérivée, puisque c'est justement la dérivée ^^

Pour tricher et contourner le mot "dérivée", on peut parler seulement de "tangente" : le 2ax+b est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse x.
Trace la courbe de ton polynôme sur un graphique ; fixe toi un x et trace la droite tangente à la courbe au point de coordonnées (x,f(x)) : la pente de cette droite est 2ax+b, c'est à dire qu'un point de coordonnée placé sur la droite vérifie : (x et X sont deux choses différentes).

Quant à pourquoi c'est 2ax+b... Tu es sûr que tu ne veux pas parler de dérivée ?

[fred31460]

Merci à vous Kairn.

Effectivement, on n'est obligé de passer par la dérivée. Je pensais que l'on pouvait expliquer ce 2ax + b par la symétrie. Ce 2ax +b est le nombre de fois que "h" peut entrer dans la différence des ordonnées. Mais c'est bizarre, cela donnera toujours 2ax +b.

Cordialement.

[zenxbear]

non du tout. C'est une histoire de forme canonique et development. Installe géogebra et ouvre l'animation sur math-et-tique de ce lien

Il te représente un polynôme écrit sous forme canonique . fait varier le a , le et le pour voir un peu ce qui se passe, et que l'axe de symétrie correspond à la droite verticale . Visualise bien le sens de , et le sens de dans le graphe du polynôme.

Ensuite prend un crayon et développe l'expression.

tu vois que tu as un terme avec x au carré: , puis un terme de degré 1 et une constante à la fin
en gros c'est écrit sous la forme
avec et ...

Toute l'idée des polynomes de degré 2 est de savoir passer Forme canonique=> forme développée (donc retrouver a, b et c connaissant a, et ) comme ci dessus.

et aussi savoir faire l'inverse: retrouver a, et connaissant a, b et c. Ce qui te donne:
par exemple.

ton axe de symétrie étant donné la droite verticale, bein c'est aussi la droite x=-b/2a

[fred31460]

Merci Zenxbear.

Donc le 2ax + b vient de la forme canonique ? On n'est d'accord ?

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Se fixer sur le 2ax+b qui vient d'une autre idée que la recherche directe de l'extrémum est une idée bizarre, mais on peut quand même l'obtenir ainsi :
Chercher le minimum ou le maximum (suivant le signe de a) de ax²+bx+c revient, 4a étant une constante non nulle, à chercher le minimum de 4a(x²+bx+c) : La multiplication par 4a fait qu'il n'y a plus qu'un seul cas, il n'y a plus qu'un minimum on va le voir.
4a(x²+bx+c)=4ax²+4abx+4ac=(4ax ²+4abx+b²)-b²+4ac=(2ax+b)²+(4ac-b²)
Le 4ac-b² étant une constante, l'expression est minimale lorsque (2ax+b)² est minimum, donc nul (puisque, comme tout carré sérieux, il est positif); donc lorsque 2ax+b=0

Ce raisonnement est purement algébrique. Pour un raisonnement géométrique, il faut passer par les formes spécifiques des coniques, qui ne fait pas non plus apparaître la droite d'équation y=2ax+b. D'ailleurs, en prenant des valeurs particulières de a, b et c, puis faisant varier c, tu verras que la droite et la parabole n'ont pas vraiment de lien particulier.

Cordialement.

[fred31460]

Merci pour la réponse gg0.

Je comprends mieux maintenant par la voie du calcul algébrique. Une petite question me trotte: La forme canonique peut t'elle tomber dans un sujet du bac S ? Je ne la délaisserai pas dans mes révision car cela est très intéressant pour justement la manipulation algébrique mais est t'elle déjà tombée dans un sujet ?

Cordialement.

[choom]

Voici comment établir que ton minimum est le coeur d'un axe de symétrie verticale, sans passer par la notion de dérivée :

Posons M la valeur que X prend lorsque la fonction est minimale.
Imposons à M comme seule exigence qu'il soit l'abcisse d'un axe de symétrie verticale pour cette fonction.
Si l'on arrive au départ de ce seul énoncé à prouver que M vaut -b/(2a) on aura bien la démonstration que tu cherches : à savoir que l'abcisse de l'axe de symétrie correspond à un x = -b/(2a) soit à 2ax+b=0 dont on
t'as dit que la formule correspond au minimum de la fonction.

Si M est l'abcisse de l'axe de symétrie pour la fonction ax² + bx + c
Alors pour tout point u précédant M sur l'axe des x d'un écart disons d, il doit y avoir aussi sur l'axe des x un point v dépassant M du même écart, symétriquement à u par rapport à M, tel que f( M-d ) = f( M+d )
sinon la fonction ne donnerait pas une symétrie par rapport à l'axe passant en M.

Remplacons donc x par ces 2 valeurs M-d et M+d dans la fonction, et imposons l'égalité. Cela donne :

a( M² -2Md + d² ) + b( M-d ) + c = a( M² +2Md + d² ) + c

En développant puis en supprimant les termes identiques tu obtiens que M doit, pour remplir sa condition de symétrie, obligatoirement valoir -b/(2a)

Est-ce cela que tu cherchais ?

[gg0]

... Une petite question me trotte: La forme canonique peut t'elle tomber dans un sujet du bac S ? Je ne la délaisserai pas dans mes révision car cela est très intéressant pour justement la manipulation algébrique mais est t'elle déjà tombée dans un sujet ?

On s'en servait souvent autrefois, mais avec les sujets édulcorés actuels, ça peut être un outil éventuel, mais pas nécessaire. par contre, pour des études scientifiques ou techniques, on s'en sert en pst bac.

Cordialement.

[fred31460]

Super, merci à toi aussi choom !.

Cordialement.

[Pedant]

Bonjour . désolé de poster sur le topic d'un autre. Mais nos sujets sont communs. Donc. C'était pour savoir .
Savez vous comment trouver le discriminant à partir de la formule canonique ou linéaire ( je veux dire : ax^2 +bx +c ) ?
Et comment pouvons nous, avec des étapes simples, partir de la formule canonique ou linéaire ... Trouver f(X) = 0 ?
Merci


Pour la 2e question , je demande un cheminement intellectuelle. Comment en trouvant ça , vous vous dites qu'en faisant ça je trouverai ça...

[Pedant]

+1truk
Le premier message de gg0, pren tout autre sens, si nous changeons ses signes ( pour a>0 ===> a<0)...
Je ne sais pas si cela est fait exprès. Ces signes me perturbe énormément...

[choom]

..et merci à toi d'avoir tacitement compris que j'avais oublié de retaper un terme..

[Pedant]

J'ai pas vraiment compris mais De rien !!

[topmath]

Bonjour à tous ;

Salut Pedant gg0 a clairement expliquer ça préciser ce que vous avez pas compris ?

Cordialement

[Pedant]

J'ai pas compris, comment on pouvait trouver ∆ (b^2-4ac) ? À partir de la forme linéaire ou canonique d'un polynôme du second degré

[topmath]

Bonjour à tous ;

Voilà en détaille ce que vous voulez savoir :











ici on vois apparaître ∆ qui est égale à



je vous laisse terminer , puits discuter suivant les valeurs de

Cordialement

[Pedant]

J'avais réussi à faire ça en solo ( j'écrivais juste , je comprenais pas )
Elle est un peu bizarre ma question, mais :
Vous avez vu apparaître ∆ puisque vous savez ce qu'est ∆
Mais, comment ça s'est passé la première fois ? Pourquoi avoir voulu ensuite faire ∆ + racine avec -b pour x1 ...

En gros : Imaginons que je sois devant un exo et que j'ai carrément oublié ce qu'est ∆ , sa valeur , et la résolution pour x1 et x2 ...
Comment faire pour résoudre l'équation
Ax^2+bx+C = 0
?

Merci pour votre réponse...

[topmath]

Ben faut toujours commencer le calcule de ∆ trois cas sont envisageable :

Si ∆ est positif l'équation admet deux racines réels.

Si ∆=0 l'équation admet une unique valeurs qui est

Si ∆ est inférieur à zéro l'équation admet deux racines complexes (si le niveaux est requis)

Cordialement

[Pedant]

Je dois sûrement beaucoup vous embêter
Je vais continuer ...

Ce que je veux savoir :
Imaginez vous, sans aucune connaissance sur les fonction polynôme . Si on vous demandait de résoudre 3x^2+7x+2 = 0
Que feriez vous ?

Sans utiliser les mots delta ou racine ... Résolvez ce problème sans penser à vos connaissances la dessus.

[Pedant]

Non j'ai finalement compris
Merci bcp topmath
Je m'excuse de vous avoir dérangé

[topmath]

Non ça me dérange pas :

Je dois sûrement beaucoup vous embêter
Je vais continuer ...

Ce que je veux savoir :
Imaginez vous, sans aucune connaissance sur les fonction polynôme . Si on vous demandait de résoudre 3x^2+7x+2 = 0
Que feriez vous ?

Sans utiliser les mots delta ou racine ... Résolvez ce problème sans penser à vos connaissances la dessus.

Sois de donner des valeurs à pour faire annuler l' équation chose qui va probablement prendre une éternité sans arriver ou encore moins d'assurer de résultat .

Sois de suivre les cours de mathématiques est d'appliquer les formules pour chaque situation présenter , sincèrement j'opte pour la seconde.

Cordialement

[Pedant]

J'avais pas compris que ∆ était une chose que l'on posait pour se facilité la vie ....
Merci encore !!

[Tryss2]

En effet, c'est simplement quelque chose que l'on pose pour se simplifier la vie.

Enfin, pas totalement : c'est une notion qui a un intérêt dans la théorie générale des équations polynomiales et peut se généraliser à des polynômes de degré >2, mais ça dépasse alors largement le niveau lycée.

[fred31460]

Bonjour,

Je suis en pleine révision sur la chapitre "second degré". Je rencontre par ci, par là de petits problèmes, je me permet donc de poser mes questions dans les discutions appropriées que j'avais ouverte.

Peut-on algébriquement prouver que alpha, donc l'axe de symétrie de la fonction, vaut -b(2a) ?

J'ai beaucoup de problème avec cette axe de symétrie. J'ai revu les bases de l'algèbre pour mieux comprendre, mais là, franchement je bloque.

Ce que je vais dire n'est pas mathématique, je m'en excuse, mais en faite, alpha vaut toujours la "moitié de la moitié de "b".

Il y a t'il une raison à cela ?

Cordialement.