Bonjour.
Imaginons que j'ai une fonction T. On note sa dérivée T'. De plus T'(x) est strictement inférieur à 0 pour x < W
J'aurais aimé savoir dans ce cas si on peut dire que T est strictement décroissante sur ]-INF, W] ou il faut dire que que T est strictement décroissante sur ]-INF, W[.
La différence se fait au niveau des bornes.
Merci d'avance.
Edit: Je rajoute que pour x = W, T'(x) s'annule.
Bonjour.
On montre facilement que f est décroissante sur ]-oo,W].
par exemple, on peut utiliser le fait que f est continue, et pour tout x<W, considérer une suite strictement croissante Xn de premier terme x, de limite W. Alors la suite f(Xn) est croissante, de limite f(W) donc d=f(W)>f(x).
Cordialement.
Tout d'abord merci pour votre réponse.
Je crois ne pas avoir très bien compris votre démonstration, à partir du moment où vous en concluez que la suite f(Xn) est croissante. Cette démonstration vous sert à prouver que l'on peut étendre l'intervalle pour le fermer en W?
En fait au cours de ma scolarité lorsque qu'on doit déterminer les variations d'une fonction au moyen du signe de sa dérivée, j'ai toujours eu pour habitude de dire que si la dérivée était strictement inférieur ou supérieur à 0 pour une valeur de x strictement supérieure ou inférieure à une autre valeur, cela signifiait que la fonction était STRICTEMENT croissante sur un intervalle FERME (sauf en l'infini).
Mais mon prof de maths de cette année m'a repris en me disant que pour X appartenant à un intervalle FERME, la fonction était croissante (ou décroissante) sur sur cet intervalle et que pour X appartenant à un intervalle OUVERT, la fonction était STRICTEMENT croissante (ou décroissante) sur sur cet intervalle. Autrement dit que si je parle de stricte croissance ou décroissance, je devais laisser ouvertes les bornes de l'intervalle, les fermer étant faux. Etes-vous d'accord avec lui? Cela me surprend car je n'avais jamais eu de problème avec ma façon de faire jusqu'à maintenant. J'ai même souvenir que mes profs faisaient comme moi.
Non, je ne suis pas d'accord avec lui, la fonction x-->x^3 est strictement croissante sur ]-oo, 0], même si sa dérivée est nulle en 0.
Ce que j'ai prouvé (preuve à finir de rédiger, et à rectifier : f(Xn) est décroissante, évidemment), c'est que si f' est strictement négative sur [a, b[ et nulle en b, alors f est strictement décroissante sur [a,b]. Il ne reste en effet qu'à prouver que f(b)<f(x) pour x<b, puisqu'on a déjà la propriété pour les nombres différents de b.
Plus généralement, si f<=0 sur [a,b] est si f' ne s'annule qu'en des points isolés, alors f est strictement croissante sur [a,b].
Cordialement.
NB : Ces notions, assez simples, sont rarement vues avant le bac.
le théorème des accroissements finis te garantit qu'une fonction continue est strictement croissante sur [a,b] si la dérivée est strictement positive sur ]a,b[
