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Suite du type Un+1=f(un)



  1. #1
    YannickBOILOT

    Suite du type Un+1=f(un)


    ------

    Bonjour,

    Je me permets de vous demander de l'aide sur un sujet

    f(x)=(x+2exp(x))/(1+exp(x))

    La suite u est définie par U0= 0 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1= f(Un)

    Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un)
    En déduire en raisonnant par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 0<2-Un<(1/2)^n+1

    On pourra se servir des données suivantes : 2-f(x)= (2-x)*(1/1+exp(x)) et 0 inf Un inf Un+1 inf 2


    A votre disposition si vous avez besoin de renseignements complémentaires, d'avance merci,

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    zenxbear

    Re : Suite du type Un+1=f(un)

    ce genre d'exo repond toujours à la même démarche.

    on fait un dessin, de cette suite, en partant de , qui ici vaut 0. ca donne ceci:
    colimacon.png
    tu observes:

    1- un point très particulier, de coordonnées (2,2), c'est un point fixe. intersection de la courge et . En gros, tu sais que 2 vérifie

    2 - ta suite reste confinée entre 0 et 2.
    La raison apparaît sur le dessin: f renvoie l'intervalle [0,2] sur l'intervalle . Donc une récurrence démontre ce résultat...
    3 - ta suite est croissante. ie:
    La raison apparaît aussi sur le dessin: la courbe représentant f est située au dessus de la droite y=x. En gros ... continue.

    4 - ta suite semble converger vers le point fixe donc vers 2.

    dans l'énoncé on te demande de ne pas te fatiguer à démontrer 2 et 3. Et on admet que
    et de viser immédiatement le point 4. Et de regarder la suite .

    et démontrer que :

    ici: : est déjà vue, d'ailleurs si tu regardes bien, on te l'a mis sous les yeux dans l'énoncé.

    pour qui est aussi ,
    on te demande simplement d'utiliser la formule "2-f(x)= (2-x)*(1/1+exp(x)) "

  4. #3
    PlaneteF

    Re : Suite du type Un+1=f(un)

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par YannickBOILOT Voir le message
    0<2-Un<(1/2)^n+1
    Avec des parenthèses comme ceci : (1/2)^(n+1)

    ​Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 21/10/2016 à 23h49.

  5. #4
    PlaneteF

    Re : Suite du type Un+1=f(un)

    Bonjour,

    Citation Envoyé par YannickBOILOT Voir le message
    2-f(x)= (2-x)*(1/1+exp(x))
    Et là aussi des parenthèses manquantes, en fait tu viens d'écrire :

    Rappel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/10/2016 à 10h39.

  6. #5
    YannickBOILOT

    Re : Suite du type Un+1=f(un)

    Bonjour,
    Merci a ZENXBEAR pour ses renseignements qui m'ont permis d'avancer
    Pour Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un), pas de souci, j'ai fait la démonstration
    Par contre je bloque sur "En déduire en raisonnant par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 0<2-Un<(1/2)^(n+1)". L'initialisation ne me pose pas de soucis mais l'hérédité m'en pose un. Je n'arrive pas à retrouver une expression telle que 1/2(Vn).
    Ensuite l'encadrement de 2-Un est OK, puisque lim (1/2)n= 0, donc 2-Un est encadré par 0, théorème des gendarmes et 2-Un tend vers 0, ce qui est logique car Un inf 2
    Merci pour votre aide,

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zenxbear

    Re : Suite du type Un+1=f(un)

    tu écris mal ta récurrence.

    tu viens de démontrer pour tout m

    ta propriété de récurrence au rang n est:

    tu cherches une majoriation de ...

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